منابع پایان نامه با موضوع SDPNMi، FE، روشهای

از معادلهی 3-13 استفاده خواهد شد. معادلهی 3-13 برای گره 5 به صورت زیر نوشته میشود:
4-19
پس از اعمال این معادله به سایر گرهها ماتریس این روش به دست خواهد آمد. همان طور که در فصل 3 ذکر شد ماتریس به دست آمده توسط این روش عینا شبیه به ماتریس به دست آمده با استفاده از روش تفاضل محدود میباشد.
برای حل این مسأله با استفاده از روش SDPNM به کارگیری معادله 3-33 برای گرهی مانند 5 به صورت زیر نوشته میشود:
4-20
که با اعمال این معادله به سایر گرهها، ماتریسی مانند مثالهای گذشته حاصل خواهد شد.
میزان نسبی خطای به دست آمده در گره 5 با استفاده از روش FD, FE و SDPNM در جدول 4-9 و شکل 4-9 گزارش و نمایش داده شدهاند.
جدول 4- 9. درصد خطای نسبی به دست آمده در گره 5 مثال 3 با استفاده از روشهای مختلف
No. of Grids
FD
FE
SDPNM
3×2
6.685791
8.555037
6.257366
6×4
1.812581
1.927734
1.448701
12×8
0.463389
0.470599
0.355739
24×16
0.116514
0.116965
0.088543
شکل 4- 9. درصد خطای نسبی نقطه‌ی 5 بر حسب افزایش تقسیم بندی دامنه
همانند مثالهای گذشته میانگین خطا به همراه بیشترین و کمترین مقادیر آن برای کل دامنهی مورد بحث درجدولها‌‌ی 4-10 و 4-11 و شکل 4-10 نشان داده شده است.
جدول 4- 10. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
TAE
FD
FE
SDPNM
3×2
6.685791
8.555037
6.257366
6×4
1.724601
1.832972
1.377603
12×8
0.429539
0.436112
0.329680
24×16
0.106579
0.106984
0.080988
جدول 4- 11. بیشترین و کمترین درصد خطای نسبی به دست آمده در کل دامنه به ازای روشهای مختلف به کار رفته
No. of Grids
Max TAE
Min TAE
FD
FE
SDPNM
FD
FE
SDPNM
3×2
6.685791
8.555037
6.257366
6.685791
8.555037
6.257366
6×4
2.374962
2.515596
1.891484
0.986261
1.055588
0.792624
12×8
0.644370
0.653561
0.494123
0.130203
0.132566
0.100179
24×16
0.164374
0.164954
0.124876
0.016592
0.016669
0.012618
شکل 4- 10. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
با توجه به نمودار 4-10 و جداول 4-10 و 4-11 مشخص میباشد که هم بازهی تغییرات خطا و هم میانگین خطای کل دامنه در روش SDPNMi از دو روش FD و FE کمتر میباشد. میزان خطای روش SDPNMi در مقایسه با دو روش FD و FE به ترتیب برابر با 93% و 73% برای تعداد گرههای 4×4 میباشد و با افزایش تعداد گرهها به 76% میل مینماید.
با توجه به برازش نشان داده شده در معادلات 4-21 مشخص میباشد که روش SDPNMi خطای کمتری نسبت به دو روش FD و FE دارد.
FD:
4-21 (الف)
FE:
4-21 (ب)
SDPNMi:
4-21 (پ)
با توجه به سه مثال گذشته میتوان به این نتیجه رسید که مناسب ترین روش از بین روشهای ارائه شده روش SDPNMi میباشد که هم به علت در نظر گرفتن گرههای مجازی و هم به دلیل افزیش تعداد گرههایی که در همسایگی گره مورد نظر میباشند باعث کارکرد مناسب تر این مدل گشته است. بنابراین در مثالهای بعد از روشهای SPNM و SDPNM استفاده نگشته و تنها روش SDPNMi با دو روش FD و FE مقایسه خواهد شد.
4-1-4 مثال 4) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مثلثی و شرایط مرزی شکل4-11
در این مثال دامنهی مسأله به صورت مثلثی در نظر گرفته شده است تا توانایی روش SDPNMi برای دامنههایی به غیر از مستطیلی نیز ارزیابی شود. حل تحلیلی این مسأله در پیوست 4 آورده شده است. دامنهی مورد نظر در این مسأله در شکل 4-11نشان داده شده است. این دامنه دارای مرزی با شرط دیریشله در سمت راست و دو مرز غیر قابل نفوذ در بالا و وتر مثلث میباشد.
شکل 4- 11. دامنه‌ی مثلثی در نظر گرفته شده برای مثال 4
برای حل این مسأله با استفاده از روش FE میتوان از ترکیبی از عناصر مستطیلی و مثلثی و یا از عناصر مثلثی استفاده کرد. در این مثال برای تجزیهی این دامنه تنها از عناصر مثلثی استفاده شده است. نحوهی تجزیهی دامنهی مورد نظر با استفاده از عناصر مثلثی در شکل 4-12 نشان داده شده است.
شکل 4- 12. نحوه‌ی تقسیم بندی دامنه‌ی مثال 4 برای حل آن با استفاده از روش FE
برای حل این مثال با استفاده از روش SDPNMi از معادلهی 3-33 برای گرههای داخلی استفاده میشود. بایستی به این نکته توجه داشت که گرههای داخلی در این مسأله خود بر دو نوع میباشند. یکی آنکه این گرهها مانند گره 6 درای هشت گره درهمسایگی خود هستند و دیگر آنکه مانند گره 5 دارای هفت گره همسایه باشند. معادلهی گرهی که دارای هشت گره همسایه میباشد عیناً مانند مثالهای گذشته خواهد بود بنابراین از نوشتن این معادله خودداری میگردد. معادلهی 3-33 برای گرهی مانند 5 که هفت گره همسایه دارد به صورت زیر خواهد بود:
4-22
معادلهی گرههای روی مرزهای غیر قابل نفوذ نیز با در نظر گرفتن گرهها و لولههای مجازی برای گرههایی مانند 2 و 7 به ترتیب به صورت زیر نوشته خواهند شد:
4-23
4-24
با نوشتن معادلات بالا برای گرههای مربوطه و حل دستگاه به دست آمده مسألهی فوق با استفاده ازروش SDPNMi حل خواهد شد. با مقایسهی جوابهای به دست آمده با استفاده از روشهای FD FE, و SDPNMi با جواب تحلیلی میتوان درصد خطای نسبی همهی گرهها را به دست آورد. برای مقایسهی میزان دقت این سه روش میانگین خطای کل دامنه به ازای تعداد تقسیم بندیهای مختلف در جدول 4-12 و شکل4-13 گزارش و نمایش شده است.
جدول 4- 12. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه‌ی مثال 4 به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
TAE
FD
SDPNMi
4×4
1.184192
0.89412617
8×8
0.262223
0.19861596
16×16
0.06098
0.04618923
32×32
0.014654
0.01109852
شکل 4- 13. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
با استفاده از برازش خطی میتوان معادلهی میانگین خطا بر حسب تعداد تقسیم بندی دامنه را به صورت زیر یافت:
FD:
4-25 (الف)
SDPNMi:
4-25 (ب)
با توجه به نمودار 4-13 و معادلات بالا مشخص میباشد که روش SDPNMi نسبت به روش FD از خطای کمتری بر خوردار است و این میانگین تقریباً 76% خطای روش FD میباشد. همچینین بازهی تغییرات خطا نسبت به روش FD مانند مثالهای گذشته کوچکتر میباشد.
4-1-5 مثال 5) مسأله‌ی حالت ماندگار با وجود چاه در محدوده‌ی مستطیلی و شرایط مرزی شکل 4-14
این مثال به توانایی مدل SDPNMi در مدل سازی حرکت آب زیرزمینی با وجود چاه برداشت میپردازد. دامنهی مورد نظر در این مثال در شکل4-14 نشان داده شده است. مرزهای سمت بالا و پایین به صورت غیر قابل نفوذ میباشند و آب به علت اختلاف هد بین دو مرز چپ و راست که به صورت دیریشله فرض شدهاند از سمت چپ به سمت راست در حرکت است. برداشت مورد نظر به صورت نقطهای و در وسط آبخوان انجام می‌شود.
شکل 4- 14. دامنه‌ی مربوط به مثال 5 با برداشت در وسط دامنه
برای حل این مسأله برای گرههای داخلی از رابطهی 3-27 و برای گرههای مرزی از رابطهی 3-48 استفاده میگردد. این روابط در مثالهای گذشته نیز مورد استفاده قرار گرفتهاند بنابراین از نوشتن آنها خود داری میشود. تنها گرهی که در این مسأله متفاوت میباشد گره مرکزی دامنهی مورد بحث است که آن هم به علت وجود تابع تحریک یا همان برداشت نقطهای میباشد. معادلهی این گره با توجه به معادلهی 3-27 به صورت زیر نوشته خواهد شد:
4-26
این مثال برای تقسیم بندیهای متفاوت با استفاده از روشهای FD و FE و SDPNMi حل شده است و نتایج به دست آمده با جواب تحلیلی این مسأله که در پیوست 5 آورده شده است مقایسه گردیده‌اند. نتایج این مقایسه در جدول 4-13 و شکل 4-15 نشان داده شده است. لازم به ذکر است که برای محاسبهی میانگین خطای دامنه نقاطی که در همسایگی بار نقطهای قرار دارند از محاسبات حذف گردیدند. این امر بدین علت است که در حل تحلیلی این مسأله به علت ناپیوستگی بار در نقطهی وارد شده خطای قابل ملاحظهای ایجاد میشود. بنابراین نقاطی که در مکانی به طول 9 تا 11 و عرض 4 تا 6 بودند از محاسبات حذف گردیدند.
جدول 4- 13. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه‌ی مثال 5 به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
TAE
FD
FE
SDPNMi
10×20
0.055612
0.080394
0.037508
20×40
0.015871
0.01668
0.01339
40×80
0.005518
0.005484
0.004605
80×160
0.001966
0.001946
0.001713
شکل 4- 15. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
همانطور که مشاهده میشود خطای به دست آمده از روش SDPNMi نسبت به دو روش دیگر کمتر میباشد. در شکل 4-16 بردار سرعت و خطوط هم پتانسیل با استفاده از روش تحلیلی، FD, FE و SDPNMi رسم گردیدهاند. همانطور که در این شکلها مشخص است ناحیهی تسخیری که از روشهای عددی مختلف به دست می‌‌آید همخوانی خوبی‌ با همدیگر دارند.
شکل 4- 16. خطوط هم پتانسیل و بردار سرعت در هنگام برداشت از وسط دامنه و وجود گرادیان هد از چپ به راست
4-1-6 مثال 6) مسأله‌ی حالت ماندگار در دامنه‌ای L شکل و شرایط مرزی شکل 4-17
در این مثال مسألهای را که دارای دامنهای پیچیده تر از مثالهای گذشته میباشد مورد بررسی قرار میدهیم. این دامنه که در شکل 4-17 نمایش داده شده است حرکت آب زیرزمینی را در حالت ماندگار در تقاطعی 90 درجه بررسی میکند. تفاوت این مسأله با مثالهای گذشته در افزایش تعداد مرزها و همچنین شکسته بودن دامنهی مورد نظر میباشد.
از آنجا که حل تحلیلی این دامنه موجود نمیباشد این مسأله را با روشهای عددی مرسوم FD و FE حل نموده و آنقدر تقسیم بندیهای انجام شده ریز می‌گردند تا عملاً جوابهای به دست آمده تا دقت بسیار زیادی با هم برابر شوند. سپس این جواب به دست آمده به عنوان جواب دقیق مسأله در نظر گرفته میشود.
شکل 4- 17. دامنه‌ی L شکل مربوط به مثال 6
حل این مسأله نیز با استفاده از معادلهی 3-33 برای گرههای داخلی و معادلهی 3-48 برای گرههای روی مرز صورت میپذیرد. از آنجا که این معادلات عیناً در مثالهای گذشته تکرار شدند در این مثال از نوشتن آنها خودداری میگردد و فقط به نتایج به دست آمده اکتفا می‌شود. خطاهای به دست آمدهی روشهای عددی مختلف به ازای تقسیم بندیهای گوناگون در جدول زیر نشان داده شدهاند.
جدول 4- 14. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه‌ی مثال 6 به ازای روشهای مختلف
Mesh sizes
TAE
FD
FE
SPNM
0.1L×0.1L
21.23189
20.8744
20.80774
0.05 L ×0.05L
4.866598
4.793854
4.773646
0.025L×0.025L
0.960596
0.95328
0.942386
با توجه به خطاهای به دست آمده مشخص میباشد که روش SDPNMi را برای حل مسائلی که هندسهی کاملا منظمی ندارند نیز میتوان به کار برد. در شکل 4-18 بردار سرعت و خطوط هم پتانسیل که با استفاده از روشهای مختلف به دست آمدهاند رسم شدهاند.
شکل 4- 18. خطوط هم پتانسیل وبردار سرعت مربوط به مثال 6
با توجه به شکل 4-18 مشخص است که تابع سینوسی سمت چپ دامنه پس از طی فاصله‌ای در حدود ‌د‌ه‌‌ در صد طول دامنه در عرض پخش شده بدین معنی که دیگر در عرض گرادیان هد از بین رفته و از آن به بعد فقط در جهت طولی این گرادیان مشاهده می‌‌شود. این امر در تمامی شکلها به وضوح مشخص میباشد.
4-1-7 مثال 7) مسأله‌ی حالت ناماندگار یک بعدی
در این مسأله حرکت غیر ماندگار آب زیرزمینی در دامنهی یک بعدی نشان داده شده بررسی گردیده است. دامنهی مورد نظر در ابتدا دارای هدی برابر با صفر در تمامی نقاط بوده

مطلب مرتبط با این موضوع :  منابع پایان نامه با موضوعمعادلهی، شبکهای، میتوان

دیدگاهتان را بنویسید