منابع پایان نامه با موضوع مرور زمان، ساده سازی

معادلات سه بعدی نیز به کار گرفت و تنها محدودیت این روش به شرایط غیرخطی حرکت آب درون محیط متخلخل برمی‌گردد.
سیستم مقاومت: از آنجا که خازن حکم ذخیره‌سازی دارد و آن را می‌توان با ضریب ذخیره‌ی آبخوان شبیه دانست سیستمی را که تنها از یک سری مقاومت تشکیل شده باشد، می‌توان با حرکت پایدار آب درون محیط متخلخل شبیه دانست.
َ2-3 روشهای عددی
از آنجا که تمامی آبخوانهای زیرزمینی طبیعی دارای شرایط مرزی نامنظم هندسی هستند و بیشتر این محیط‌های متخلخل، ناهمگن و غیر همسان هستند حل تحلیلی آنها تقریباً ناممکن است (Chen and Ma, 2006). این امر و همچنین پیشرفت چشمگیر کامپیوترها طی چند دهه‌ اخیر باعث فراگیر شدن و محبوبیت روشهای عددی مانند روش تفاضل محدود و روش عناصر محدود نسبت به روشهای تحلیلی شده است. برخلاف روشهای تحلیلی که جواب مسأله را به صورت تابعی پیوسته از مکان و زمان مانند u=u(x,t) به دست می‌آورند، روشهای عددی جواب را تنها در نقاطی مشخص از زمان و مکان مشخص می‌سازند و برای دست‌یابی به اطلاعات مورد نظر در نقاطی به غیر از نقاط مشخص شده بایستی از درون‌یابی استفاده کرد. در استفاده از روشهای مختلف عددی بایستی به این نکته دقت کرد که به علت مزایا و معایب هر کدام از این روشها و همچنین تفاوت ساختاری این روشها هیچگاه نمی‌توان بهترین روش را مشخص نمود، هر چند به علت سادگی و راحتی بعضی روشها نسبت به سایر روشها، می‌توان گزینه‌ی مناسب‌تر را که باعث کاهش حجم محاسبات و در نتیجه زمان محاسبات می‌شود ارائه نمود.
علمکرد بیشتر روشهای عددی موجود را می‌توان تبدیل معادلات دیفرانسیل حاکم به سیستمی از معادلات جبری دانست. حال چنانچه این معادلات دیفرانسیل خطی باشند دستگاه معادلات به وجود آمده نیز خطی خواهند شد و در نتیجه معادلات دیفرانسیل حاکم قابل تبدیل به صورت ماتریسی خواهند بود. تفاوت عمده‌ی روشهای عددی را در ضرایب ماتریس تشکیل شده می‌توان یافت.
2-3-1 روش تفاضل محدود (finite difference method)
اولین گام در روش تفاضل محدود رسم شبکه‌ای عمود بر هم بر روی دامنه‌ی مورد نظر می‌باشد. این شبکه می‌تواند دارای فواصلی مساوی و یکسان و یا غیریکسان در راستای خطوط افقی و عمودی باشد. به طور کلی هنگامی که دقت بیشتری مورد نظر می‌باشد می‌توان فاصله‌ی خطوط را نزدیک‌تر به هم و هنگامی که نیازی به دقت بالا نیست این فاصله‌ها را دورتر از هم در نظر گرفت (شکل 2-19).
شکل 2- 19. شبکه بندی دامنه‌ی مورد نظر با استفاده از روش تفاضل محدود. (a) فواصل منظم. (b) فواصل غیر منظم (, 2010.et al Bear)
پرکاربردترین معادله‌ی حاکم در فیزیک و مهندسی معادله‌ی لاپلاس می‌باشد که حالتی خاص از معادله‌ی پواسون است. این دو معادله به صورت زیر نوشته می‌شوند:
2-21
چنانچه بسط تیلور تابع u نوشته شود:
2-22
2-23
حال با صرف نظر کردن از ترمهای و ترمهای بالاتر و جمع دو رابطه‌ی بالا میتوان نوشت:
2-24
2-25
و با تکرار همین کار برای متغیر y:
2-26
با جایگذاری دو رابطه‌ی 3-10 و 3-11 در معادله‌ی لاپلاس یا پواسون رابطهی زیر به دست می‌آید:
2-27
و در حالت خاصی که باشد:
2-28
چنانچه این فرمول برای بقیه‌ی نقاط نوشته شود، سیستمی از معادلات جبری حاصل میشود که می‌توان آن را به صورت ماتریسی زیر نوشت:
2-29
که بردار {b} تأثیر شرایط مرزی خواهد بود. نمایش معادلهی‌ 2-29 به صورت سلولی در شکل 2-20 نشان داده شده است.
شکل 2- 20. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روش تفاضل محدود رایج (Iserles, 2009)
فرمهای غیر متعارف‌تر روش تفاضل محدود که دقت بیشتری دارند و یا برای شرایط مرزی غیرمنظم به کار می‌روند نیز در شکلهای 2-21 و 2-22 نشان داده شده‌اند (Iserles, 2009).
شکل 2- 21. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روشهای غیر رایج تفاضل محدود (Iserles, 2009)
شکل 2- 22. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روشهای غیر رایج تفاضل محدود برای مرزهای غیر منظم. شبکه بندی لانه زنبوری (Iserles, 2009)
2-3-2 روش حجم محدود (finite volume method)
این روش در اصل برای مقابله با مشکلات روش تفاضل محدود ارائه گردیده است و رفته رفته به یکی از روشهای بسیار رایج در حل مسائل تبدیل شده است. یکی از بزرگترین معایب روش تفاضل محدود این است که بایستی برای گره بندیها‌ی کارتزینی به کار گرفته شود و به همین علت کاربرد آن در مسایلی که مرزها منحنی می‌باشند با خطای زیادی مواجه می‌شود. در روش حجم محدود میتوان از شبکه بندی های چهار ضلعی نامنظم استفاده کرد تا بتوان مرزهای منحنی و نامنظم را بهتر مدل نمود. در شکل 2-23 تفاوت شبکه بندی دو روش ذکر شده مشخص می‌باشد.
شکل 2- 23. مقایسه‌ی بین شبکه بندی (a) کارتزین تفاضل محدود و (b) غیر متعامد حجم محدود (Louydi et al., 2007)
از مزایای دیگر روش حجم محدود می‌توان به این امر اشاره کرد که این روش بر پایه‌ی انتگرال گیری از معادلات بقا استوار می‌باشد. بر خلاف روش تفاضل محدود که اصل بقا تنها هنگامی ارضا میگردد که ابعاد المان به سمت صفر میل نماید در روش حجم محدود اصل بقا درون تمام شبکه ها برقرار میباشد. از مزایای دیگر این روش میتوان به توانایی حل مسایلی که در آنها ناپیوستگی دیده میشود (مانند وجود دو جنس مختلف و یا دو ضریب متفاوت) اشاره نمود.
برای حل معادلهی پواسون به روش حجم محدود میتوان نوشت:
2-30
و طبق قانون divergence:
2-31
این انتگرال را برای شکل 2-24 می‌توان به صورت زیر نوشت:
2-32
شکل 2- 24. شبکه بندی دامنه‌ی مورد نظر با استفاده از روش حجم محدود (Chung, 2002)
پس از اینکه معادله‌ی اصلی با استفاده از قانون divergence به صورت بالا درآمد با استفاده از روش تفاضل محدود معادلهی 2-32 به صورت زیر نوشته میشود:
2-33
که در آن مجموع تمام مساحت‌های حجمهای کنترلی است که نقطهی یک را احاطه کرده‌اند. به عنوان مثال با توجه به شکل 2-25 مقدار S7,1 در عبارت بالا برابر است با:
2-34
شکل 2- 25. سطوح کنترل بین گره‌های 1 و 7 (Chung, 2002)
با جایگذاری رابطهی 2-34 در رابطهی 2-33 دستگاهی از معادلات جبری خطی به دست می‌آیند که برای المانهای مستطیلی شکل با معادلات به دست آمده از روش تفاضل محدود یکسان خواهند بود.
2-3-3 روش عناصر محدود (finite element method)
این روش به زیر شاخه‌های مختلفی تقسیم ‌بندی می‌شود و فرمول‌ بندی هر کدام از این روشها متفاوت است. برای حل مسایل میدانی مانند معادله‌ی لاپلاس یا گرما روشی که معمولاً به کار گرفته می‌شود روش Galerkin می‌باشد که متعلق به دسته‌بندی روش weighted residue می‌باشد (Zienkiewics et al., 2005).
با در نظر گرفتن معادله‌ی‌ پواسون و فرض اینکه جواب تقریبی این معادله ue باشد می‌توان نوشت:
2-35
که در آن R(x, y) باقیمانده می‌باشد. هدف اصلی روش weighted residue کمینه کردن R(x,y) می‌باشد بدین معنا که:
2-36
که در آن w(x,y) تابع وزن نامیده می‌شود.
یکی دیگر از گامهایی که در روش عناصر محدود به کار رفته می‌شود جایگذاری ue با مجموعه‌ای از توابعی به نام توابع پایه و ضرایب مجهولی که در جستجوی آن هستیم می‌باشد به این صورت که, 2006) Reddy):
2-37
که در آن توابع پایه و uj ضرایب مجهول می‌باشند. با اعمال رابطه‌ بالا در معادله‌ی پواسون وجایگذاری ueبه جای u:
2-38
2-39
طبق قانون divergence می‌توان نوشت:
2-40
2-41
با جایگذاری دو رابطه‌ی‌ بالا در معادله‌ی 2-39:
2-42
با فرض اینکه باشد و با جایگذاری رابطه‌ی 2-37 در معادله‌ی 2-42:
2-43
و چنانچه روابط زیر برای ساده سازی فرض شوند:
2-44
2-45
2-46
معادله‌ی 2-43 را می‌توان به صورت زیر نوشت:
2-47
معادلهی فوق نشان می‌دهد که مسألهی‌ لاپلاس به صورت دستگاهی از معادلات جبری به دست می‌آید. عمده مزیت روش عناصر محدود به روش تفاضل محدود راحت‌تر بودن حل مسأله‌هایی با مرزهای نامنظم می‌باشد.
2-3-4. روش عناصر مرزی (boundary element method)
روشهای عددی گفته شده در صفحات قبل همگی محتاج به تجزیهی کل دامنه بودند به این معنی که مقادیر مجهول در نقاطی که متعلق به دامنه بودند به دست میآمدند، حال آنکه لازم نیست همیشه کل دامنه تجزیه شود. روشهای عددی دیگری به نام روشهای مرزی وجود دارند که به جای آنکه مقادیر مجهول را در کل دامنه به دست آورند این مقادیر را فقط در نقاطی که به مرز تعلق دارند محاسبه مینمایند. مزیت این روشها کوچک تر شدن دستگاه معادلات به وجود آمده و در نتیجه کمتر شدن حجم محاسبات و همچنین کمتر شدن حافظهی مورد نیاز کامپوتر میباشد. یکی دیگر از مزیتهای روشهای مرزی در شبکه بندی دامنهی مورد نظر میباشد. به علت اینکه نقاط شبکه بندی همگی روی مرزها میباشند تعداد نقاط مورد نیاز کمتر از روشهای قبل میباشد و در نتیجه تولید شبکهی تقسیم بندی دامنه آسانتر خواهد بود (Bear et al., 2010). گرچه مهمترین برتری روشهای مرزی را بایستی در حل مسایلی که در آن مرزها حرکت میکنند مانند حرکت سطح آزاد آب یا حرکت سطح مشترک بین دو سیال، جست. در مسایل تجزیهی دامنه، هنگامی که موقعیت مرز با زمان تغییر کند شبکهی تقسیم بندی بایستی به مرور زمان تنظیم گردد، حال آنکه در روشهای مرزی این مشکل وجود ندارد.
مشکل عمدهی روشهای مرزی عدم توانایی کاربرد این روشها برای حل تمامی مسایل موجود میباشد. برای حل مسایل با روشهای مرزی بایستی از نوعی از جواب مسلهی اصلی مانند جواب عمومی یا جواب پایه (تابع گرین) اطلاع داشت. به طور کلی این جوابها تنها برای مسایل خطی با ضرایب ثابت موجود میباشند و این امر کاربرد روشهای مرزی را بسیار محدود مینماید.
روشهای مرزی متعددی مانند روشfundamental solution (Mathon and Johnston, 1977; Fairweather and Karageorghis, 1998) یا روش Trefftz (Herrera, 1984; Li et al., 2007) یا روش analytic element (Bakker and Strack, 2003)وجود دارند که روش boundary element (Brebia, 1978) یکی از آنها میباشد.
برای حل معادلهی پواسون با روش عناصر مرزی سمت چپ معادله با عملگر L نشان داده می‌شود:
2-48
با استفاده از قضیه‌ی گرین می‌توان نوشت:
2-49
که در آن Ω کل دامنه و Γ مرزL^⋆ عملگر الحاقی L میباشد و B و B* برابرند با:
2-50
2-51
2-52
همانطور که ذکر شد مسالهی اصلی در حل معادلات به روش عناصر مرزی دانستن جواب پایه یا تابع گرین میباشد. جواب پایه یا همان تابع گرین برای عملگر L از حل معادلهی زیر به دست میآید:
2-53
و چون عملگر الحاقی معادلهی لاپلاس با خود عملگر یکی میباشد:
2-54
با جایگذاری G به جای v در معادلهی 2-49 خواهیم داشت:
2-55
2-56
2-57
با استفاده از خاصیت تابع دلتای دیراک مقدار برابر خواهد بود با:
2-58
برای حل معادلهی لاپلاس خواهیم داشت:
2-59
2-60
نحوهی تقریب جواب مساله با استفاده از مجموعی از توابع پایه و مقادیر مجهول همانند روش عناصر محدود میباشد با این تفاوت که این تقریب فقط برای نقاط روی مرز انجام میشود و در نتیجه تعداد معادلات به دست آمده کمتر خواهد شد. برای انجام این کار گره i هر مرتبه برابر با گرههای روی مرز قرار داده می‌شود که به این معناست که تابع دلتای دیراک در همان گره اعمال میگردد:
2-61
پس از انجام این کار برای تک تک گرههای متعلق به مرز مساله، دستگاه زیر به دست خواهد آمد:
2-62
که در آن:
2-63
2-64
برای حل دستگاه معادلات بالا بایستی به این نکته توجه داشت که برای هر گره i از دو مقدار {u} و

مطلب مرتبط با این موضوع :  مقاله با موضوععدم تمرکز، سلسله مراتب، ارتباط مؤثر

دیدگاهتان را بنویسید