(‏3، رابطه¬ی، SDRE، معادله¬ی، ریکاتی، می¬باشد.، می¬کنیم.، اغتشاش، ماتریس¬های، با، کنترل¬پذیری، بهینه¬ی

کنترل¬کننده استفاده نمود.
نکته قابل ذکر در شرایط غیرخطی، غیرخطی بودن ورودی کنترل¬کننده می¬باشد. مشکل این نوع از غیرخطی بودن این است که منجر به پیچیدگی در محاسبات عددی، به منظور پیاده¬سازی کنترل¬کننده می¬شود. به همین دلیل در بیشتر روش¬هایی که برای حل معادله SDRE ارایه شده¬اند؛ سیستم را به صورت افاین در نظر گرفته¬اند. در این گونه سیستم¬ها تنها حالات،به صورت غیرخطی می¬باشند. با دقت در رابطه¬ی‏3 1 مشاهده می¬کنید که ورودی کنترلی، وابستگی خطی¬ای وجود دارد.

‏3 1

اما ورنلی و کوک به حل معادله¬ی SDRE در حالت عمومی¬تری، که حتی در ورودی هم غیرخطی است پرداخته¬اند[25].

‏3 2

این نوع از سیستم¬ها، به یک پیچیدگی مهمی در روش کنترلی بر مبنای معادلات SDRE منجر خواهند شد. دلیل آن هم این است که ما به خاطر غیرخطی بودن ورودی، قادر به یافتن رابطه¬ی مستقیم برای u، که آن u، وابسته به پارامتر x باشد،نخواهیم بود. از آن¬جا که جرثقیل¬های حامل کانتینر ورودی غیرخطی ندارند؛ مدل غیرخطی آن¬ها به¬صورت افاین خواهد بود. همان¬طور که در فصل دوم نیز اشاره شد، در این کار به خاطر این¬که یک اغتشاش خارجی (باد) به سیستم وارد می¬شود، رابطه افاین به صورت زیر بیان می¬گردد:

‏3 3

خطی¬سازی توسعه یافته

همانطوری که گفته شد؛ برای کنترل بهینه¬ی غیرخطی از طریق روش SDRE، آن را به صورت ساختاری خطی در نظر میگیریم و سپس مسئله را از طریق روشی مشابه با LQR حل می¬کنیم. لذا خطی¬سازی توسعه¬یافته فرآیندی است که سیستم غیرخطی را از طریق فاکتورگیری به ساختاری مشابه با خطی تبدیل می¬کند. نام¬های دیگر این فرآیند، خطی¬سازی آشکار و پارامتری کردن با ساختاری وابسته به متغیر¬حالت می¬باشند. با در نظر گرفتن سیستم در حالت افاین و با شرط اولیه¬ی f(0)=0 ، همواره یک ماتریس A(x) یافت می¬شود که در آن:

‏3 4

در این رابطه، A از فاکتورگیری بدست می¬آید. مقدار A برای n1 در یکتا نخواهد بود. این عدم یکتایی خود موجب افزایش درجه¬ی آزادی طراحی کنترل¬کننده می¬شود. یک مقدار از A را می¬توان با اعمال رابطه¬ی زیر بدست آورد [26]:

‏3 5

برای درک بهتر عدم یکتایی در تعیین A، به مثال زیر دقت کنید:
اگر باشد، از آن جا که:

‏3 6

پس یک جواب بدیهی برای A برابر است با:

‏3 7

با کمی دقت، می¬توان به شکل¬های دیگری هم A را حساب نمود:

‏3 8

در واقع برای هر داریم:

‏3 9

‏‏
رابطه¬ی بالا برای سیستمی با دو متغیر حالت داده شده است. در حالت کلی¬تر، برای سیستم¬هایی که دارای چندین متغیر حالت باشند؛ رابطه¬ی زیر را خواهیم داشت [20]:

‏3 10

برای درک بهتر رابطه¬ی بالا، فرض کنید که مدل غیرخطی سیستمی، با سه متغیر حالت، بصورت زیر باشد:

‏3 11

ماتریس سیستم آن با توجه به رابطه¬ی (‏3 9) به شکل زیر خواهد شد:

‏3 12

مشاهده می¬شود که خط اول ماتریس بالا با توجه به رابطه¬ی ‏3 10 شکل گرفته است. خطوط دوم و سوم نیز به ترتیب با استفاده از روابط (‏3 10) و (‏3 5) شکل گرفته¬اند. دلیل استفاده از رابطه¬ی عمومی (‏3 10) در این است که از بی¬نهایت حالت ممکن ماتریس سیستم وابسته به حالت، تنها تعداد محدودی از آنها منجر به کنترل پذیر شدن مدل می¬شوند. اگر ماتریس سیستم اثر هر یک از متغیرهای حالت موجود را در خود داشته باشد ؛ این اثر میتواند باعث افزایش دترمینان ماتریس کنترل¬پذیری و در نتیجه افزایش کنترل¬پذیری سیستم بشود. بنابر این با استفاده از رابطه¬ی مذکور به کنترل¬پذیری نزدیک¬تر می¬شویم. دقت شود که ممکن است علی¬رغم کنترل پذیر بودن مدل، پاسخی نیمه بهینه به ما داده شود . تاکنون الگوریتم مدونی که منجر به یافتن ضرایب ای که منجر به بهینه شدن پاسخ مدل بشود ارایه نشده است. در مورد ماتریس کنترل¬پذیری برای ماتریس¬های سیستم وابسته به حالت باید گفت که باید جفت ماتریس¬های نقطه به نقطه چک بشوند. این آزمون کنترل¬پذیری مختص طراحی کنترل¬کننده¬های SDRE می¬باشد و با آزمون¬های پیچیده¬ی عمومی کنترل¬پذیری غیرخطی، که برمبنای جبر لی است متفاوت است، تفاوت دارد [27]. این بی¬نهایت حالت ممکن در انتخاب ماتریس¬های سیستم وابسته به حالت، یکی از برتری¬های کنترل¬کننده¬های SDRE می¬باشد. دلیل آن هم در این است که امکان داشتن چندین ماتریس سیستم باعث افزایش درجه¬ی آزادی این دسته از کنترل¬کننده¬ها می¬شود.

مطلب مرتبط با این موضوع :  اتوماسیون، کارکنان، بهره¬وری، ارتباطات، مدیران، هستند.، سازمان¬ها، دفتری، تایپ، اداری،، حقیقت، دوره¬ی

تنظیم¬کننده¬های بهینه غیرخطی

بااعمال فرآیند خطی¬سازی توسعه یافته در مدل افاین با در نظر گرفتن اغتشاش باد خواهیم داشت:

‏3 13

همانطوریکه گفته شد؛ برای حل مساله¬ی کنترل تبهینه¬ی غیرخطی، آن را به صورت معادلات خطی با ضرایب وابسته به حالت در نظر می¬گیریم. لذا روش حل مساله، همانند روش LQR برای سیستم¬های خطی می¬باشد. پس به همان طریق LQR به حل مسئله¬ی کنترل بهینه¬ی غیرخطی خواهیم پرداخت[28].
مسئه¬ی کنترل تنظیم¬کننده¬های بهینه¬ی غیرخطی افق محدودی را در نظر می¬گیریم. سیستم موجود در این مسئله را کنترل پذیر، خودکار و غیرخطی (در متغییرهای حالت) تعریف می¬نماییم.با توجه به رابطه¬ی مذکور، بردار حالت و زمان می¬باشند؛ که در آن نگاشت توابع B و f ، به ترتیب برابر با و می¬باشند.
در ضمن می¬باشد. مبدا x=0 بدون از دست دادن هرگونه عمومیت، به صورت نقطه¬¬ی تعادلی می¬باشد که در آن f(0)=0 است. دقت شود که این شرط استفاده از کنترل¬کننده¬ی SDRE می¬باشد. در این طرز بیان به یک تابعی ، که معیاری برای کارایی می¬باشد، نیاز داریم. در نتیجه هدف ما، کمینه کردن این تابعی در زمانی محدود خواهد بود. این تابعی در زیر آمده است:

‏3 14

همان¬طوریکه ملاحظه می¬شود، ماتریس¬های وزنی حالت و ورودی را وابسته به متغیر حالت فرض کرده¬ایم. این نیز یکی دیگر از مزایای کنترل¬کننده¬های SDRE می¬باشد. دلیل آن هم در این است که به طور مثال می¬توان ماتریس¬های وزنی را طوری طراحی کرد که با افزایش متغیر حالت، Q(x) افزوده شده و R(x) کاهش بیابد. این نوع از طراحی منجر به حفظ تلاش کنترلی در نزدیکی مبدا می¬شود. به علاوه ما را از رسیدن به نقطه¬ی تعادل، با وجود دور بودن سیستم از آن، مطمئن می-کند.
در یک مساله¬ی تنظیم¬کننده باید قانون کنترلی¬ای را یافت، که کارخانه را به حفظ نمودن حالات سیستم آن در صفر(در طول بازه-ی ([t0 ,T] وادار بکند. این مسئله مبنای روش SDRE برای تنظیم¬کننده¬های غیرخطی را شکل می¬دهد. برای بهینه کردن تابعی داده شده، رابطه موسوم به همیلتونین را معرفی می¬کنیم:

‏3 15

که در آن L عبارت درون انتگرال رابطه ‏3 14می¬باشد. را کمک وضعیت می¬نامند. از آن¬ جا که است، پس اضافه کردن آن به تابعی عملاً بی¬تاثیر است. هم چنین فعلا از عبارت خارج انتگرال، که تاکیدی بر حالت نهایی دارد، چشم پوشی می¬کنیم. لازم به ذکر است که به دلیل ثابت بودن این عبارت، این کار پاسخ بهینه¬ی ما را تغییر نمی¬دهد.

مطلب مرتبط با این موضوع :  اطلاعاتی، مدیران، کامپیوتر، کامپیوتری، کارکنان، ، رایانه، فروشی، شیرینی، زیراکس، سیستمها، ارزشمند

‏3 16

حال با وارد کردن همیلتونین در رابطه¬ی (‏3 16) داریم:

‏3 17

که با انتگرال¬گیری جز به جز از قسمت دوم عبارت زیر انتگرال، به رابطه¬ی زیر می¬رسیم:

‏3 18

با به دست آوردن نمو J و با فرض ثابت بودن اغتشاش داریم:

‏3 19

حال باید نمو عبارت داخل انتگرال را نوشت. برای منظور کردن نمو همیلتونین بر حسب پارامترهای آن، با توجه به دیفرانسیل کامل، داریم:
‏3 20

حال باید برای اکسترمم شدن J¬ ، نمو آن صفر بشود. لذا برای صفر شدن رابطه¬ی (‏3 20) باید شرایط زیر برقرار گردد:

1-شرط حالت سیستم:
‏3 21

2-شرط کمک وضعیت سیستم:
‏3 22

3-شرط ثابت :
‏3 23

با استفاده از شرط ثابت (رابطه¬ی ‏(3 23))، ورودی کنترلی بهینه بدست می¬آید:
‏3 24

حال باید مقدار را تعیین نماییم. در این¬جا ما به روش تقلید از روش رسیدن به معادله¬ی ریکاتی در مسایل کنترل بهینه¬ی خطی پیش خواهیم رفت [28]. فرضیات ما برای اعمال کنترل¬کننده¬های SDRE عبارتند از:
1- پایدار پذیر بودن سیستم (با تست کنترل پذیری به این شرط خواهیم رسید.)
2- وجود مسیری که تابعی مورد نظر ما را بهینه نماید.
3- در دسترس بودن تمامی حالت سیستم و عدم نیاز به تخمین حالت.
کالمن نشان داد در صورتی که سیستم بدون اعمال اغتشاش باشد، برای هر ماتریس کمک وضعیت در بازه¬ی داریم [29]:

‏3 25

حال برای سیستم مورد بررسی در این کار که با اعمال اغتشاش همراه است، ماتریس کمک وضعیت را به صورت زیر بهبود می¬دهیم:

‏3 26

حال با مشتق گرفتن از رابطه (‏3 26) داریم:

‏3 27

در ادامه با استفاده از روابط ( ‏3 13) و (‏3 24) در رابطه بالا خواهیم داشت:

‏3 28

حال با قرار دادن سمت چپ رابطه بالا با رابطه (‏3 22) خواهیم داشت:

‏3 29

در ادامه خواهیم داشت:

‏3 30

برای برقراری رابطه (‏3 30) باید عبارتهای زیر برقرار گردد:

‏3 31

‏3 32

با توجه به مطالب گفته شده در قسمت(‏3-2-) و رابطه (‏3 5) خواهیم داشت:

‏3 33

و اگر داشته باشیم:

‏3 34

با حذف x(t) از طرفین رابطه (‏3 31) داریم:

‏3 35

با استفاده از رابطه¬های (‏3 33) و (‏3 34) در رابطه¬ی (‏3 32) خواهیم داشت:
‏3 36

با دقت در رابطه¬ی (‏3 35)، درمی¬یابیم همان معادله¬ی SDRE می¬باشد با رجوع به معادله¬ی ریکاتی معمولی ملاحظه می¬شود؛ که فرق اصلی این معادله با آن، در وابستگی این معادله به متغیر حالت می¬باشد. حال با توجه به روابط (‏3 13)، (‏3 24)، (‏3 26) و (‏3 34) خواهیم داشت:

‏3 37

بدین ترتیب با حل معادلات (‏3 35) و (‏3 36) می¬توان ورودی کنترلی حلقه بسته را یافت. نکته قابل ذکر دیگر این¬ است که در صورتی که به سیستم اغتشاش وارد نشود، همانطور که در بسیاری از کتاب¬های کنترل بهینه [26] ذکر شده است عبارتهایی شامل حذف می¬گردد.
در ادامه دو روش تکرار برای حل معادلات SDRE در حالت زمان محدود و نامحدود را بیان می¬کنیم.

مطلب مرتبط با این موضوع :  نفعان، رقابتی، شرکای، معماری، هدفگذاری، راهبرد

روش¬های حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE)

در معادله¬ی ریکاتی معمولی، تنها مجهول P(t) بود. اما برای طراحی سیستمی با اغتشاش که مد نظر در این کار می¬باشد، باید دو مجهولP(t) و را به¬دست آوریم. باید برای بدست آوردن این دو در زمان دلخواه، آن¬ها را به صورت عقب¬گرد از زمان¬های نهایی حل نمود.اما در این¬جا ضرایب با توجه به نقطه¬ی x که در آن هستیم تغییر می¬کنند. پس برای اجرای فرمان عقب-گرد، به منظور حل معادله¬ی SDRE، نیاز به مقدار متغیر حالت در هر زمان دلخواه داریم. مشکل از این جا شروع می¬شود که ما تنها مقدار اولیه¬ی x را داریم. هم¬چنین برای به¬روزکردن متغیر حالت نیاز به ورودی می¬باشد که خود نیاز به مقدار P و در زمان مورد نیاز وابسته است. لذا کار برای حل معادلات SDRE به مراتب دشوارتر از معادله¬ی ریکاتی خواهد شد. تاکنون روش¬های متعددی برای حل این نوع معادلات ارایه شده است. ما در این کار جرثقیل حامل کانتینر را با دو روش زمان محدود و نامحدود برای حل معادله¬ی SDREکنترل می¬کنیم.
ابتدا روش حل تکرار معادله¬ی SDRE، ارایه شده توسط دکتر خالوزاده[26]، که توسط مهندس بیک¬زاده درستی آن به اثبات رسیده [30]، را شرح می¬دهیم. حسن این روش، در سادگی پیاده¬سازی آن است. این روش برای سیستم¬های افاین به کار می¬رود. روش کار به این صورت است که ابتدا سیستم را بدون ورودی فرض می¬کنیم. در نتیجه متغیرهای حالت را تا زمان نهایی، به صورت زیر به¬دست می¬آوریم:

‏3 38

سپس معادله¬ی SDRE را به کمک متغیرهای حالت بدست آمده از رابطه¬ی (‏3 38)، به صور عقب¬گرد حل می¬کنیم. در نتیجه تمامی P و ها در رابطه¬های (‏3 35‏) و (3 36) بدست می¬آیند. لازم به ذکر است که در حل این معادله به صورت عقب¬گرد، از روش حل انتگرالی در معادلات ریکاتی تقلید می¬کنیم. یعنی در رابطه¬ی (‏3 35‏) و (3 36) ، به جای و ، به ترتیب و را بازنویسی می¬کنیم [31]. سپس معادله را بر حسب P(t-1) و ، به صورت عقب¬گرد حل می¬کنیم. حال با داشتن Pها، قادر به بدست آوردن سیگنال کنترلی K از طریق رابطه¬ی (‏3 34) خواهیم بود. سپس با توجه به مقادیر بدست آمده و استفاده از آن در رابطه¬ی (‏3 37) ورودی کنترلی بدست می¬آید.
دوباره مراحل گفته شده را تکرار می¬کنیم، ولی این بار در رابطه¬ی (‏3 38) از ورودی¬های بدست امده از رابطه¬ی (‏3 34)، برای به روز کردن متغیرهای حالت سیستم استفاده می¬کنیم. این تکرار را آنقدر ادامه می¬کنیم تا تغییرات u قابل چشم¬پوشی بشود.
روش حل این معادله در حالت نامحدود به این شکل است که با داشتن x0، ماتریس¬های A(x0) و B(x0) را خواهیم داشت و در نتیجه می¬توان معادله¬ی ریکاتی را به صورت یک معادله¬ی ریکاتی معمولی بر حسب ماتریس¬های ثابت A(x0) و B(x0) به صورت نامحدود حل کرد. سپس با مقدار P و و در نتیجه ورودی کنترلی بدست آمده از حل مساله¬ی کنترل بهینه خطی(LQR) در این مرحله؛ مقادیر حالت سیستم را به روز نمود. در مرحله¬ی بعد مساله¬ی کنترل بهینه¬ی خطی را به طریق گفته شده بر حسب ماتریسهای ثابتA(x1) و B(x1) حل نموده و این مراحل را در هر زمان تکرار نمود.

کنترل¬کننده و رویت¬گر SDRE

در صورت عدم دسترس