منابع پایان نامه با موضوع FE، تقسیم، n

مشخص میکند توان مجهول n میباشد که هنوز مشخص نشده است. در فصل گذشته نشان داده شد که با اختصاص دادن اعدادی مناسب به n میتوان دو روش FD و FE را به دست آورد. به عبارت دیگر دو روش FD و FE حالاتی خاص از معادلهی بالا میباشند. مثال بالا به ازای مقادیر مختلف n حل گشته و خطاهای حاصل از آنها به همراه خطای روش FD و FE در جدول 4-19 گزارش شدهاند.
با توجه به جدول 4-19 مشخص میشود که به ازای بازه 25/0 ≤ n ≤ -∞جوابهای به دست آمده از این روش نسبت به دو روش FD و FE از دقت بیشتری بر خوردار هستند. در حقیقت عدد -∞=n معرف روش FD و عدد 25/0=n معرف روش FE میباشد.
جدول 4- 19. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه‌ی مثال 10 به ازای روشهای مختلف
No. of grids
TAE
FD
FE
SDPNMi
n=-∞
n=-1.2
n=-0.8
n=-0.4
n=0.0
n=0.25
n=+∞
3×2
6.686
8.555
6.686
2.644
0.359
2.683
6.257
8.555
19.986
6×4
1.725
1.833
1.725
0.644
0.081
0.619
1.378
1.833
3.786
12×8
0.430
0.436
0.430
0.158
0.020
0.150
0.330
0.436
0.879
24×16
0.107
0.107
0.107
0.039
0.005
0.037
0.081
0.107
0.214
با توجه به اینکه ضریب n عددی مجهول میباشد میتوان انتظار داشت که بتوان این ضریب مجهول را طوری پیدا کرد که خطاهای حاصل از به کارگیری این روش به کمترین حد خود برسد. برای این کار مثال بالا به ازای تقسیم بندیهای مختلف حل گردید و برای هر کدام از این حالات ضریبی که کمترین خطا را به وجود میآورد مشخص شد. این ضرایب و خطاهای حاصل از آنها در جدول 4-20 گزارش شدهاند.
جدول 4- 20. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده با استفاده از n بهینه و دو روش FD و FE
No. of grids
Optimum curvature number (n)
TAE
SDPNMi
FD
FE
3×2
-0.747416
7.77171×10-8
6.685791
8.555037
6×4
-0.749839
2.14839×10-7
1.724601
1.832972
12×8
-0.749990
4.96278×10-12
0.429539
0.436112
24×16
-0.749999
3.64825×10-8
0.106579
0.106984
جدول 4-20 نشان دهندهی این امر است که با افزایش تعداد تقسیم بندی دامنه، ضریب n تغییر زیادی نمیکند و عملاً به سمت عدد 75/0- میل مینماید. این امر باعث میشود که بتوان ضریب مجهول n را در معادلهی 3-66 با عدد 75/0- جایگزین نمود. مثال بالا به ازای 75/0-n= حل گشته و خطاهای حاصل از آن در جدول 4-21 و نمودار 4-26 نمایش داده شده‌اند.
جدول 4- 21. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده با استفاده از n=-0.75 و دو روش FD وFE
No. of grids
TAE
FD
FE
SDPNMi (n=-0.75)
3×2
6.685791
8.555037
0.017929
6×4
1.724601
1.832972
0.000265
12×8
0.429539
0.436112
4.03E-06
24×16
0.106579
0.106984
6.22E-08
شکل 4- 26. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
با استفاده از برازش خطی میتوان معادلهی حاکم بر میانگین خطای کل دامنه بر حسب تعداد تقسیم بندی را به دست آورد. معادلات برازش شده برابرند با:
4-33 (الف)
4-33(ب)
4-33 (پ)
با در نظر گرفتن معادلات بالا مشخص است که نرخ همگرایی روش ارائه شده از مرتبه است حال آنکه دو روش FD و FE دارای نرخ همگرایی از مرتبه میباشند. خطای روش به کار گرفته شده به ازای تقسیم بندی 3×2 در حدود 400/1 دو روش FD و FE می‌باشد. با افزایش تعداد تقسیم بندیها به 24×16 این نسبت به حدود 000,000,2/1 کاهش پیدا میکند. با توجه به این دقت بسیار زیاد میتوان مسأله را با تعداد تقسیم بندی بسیار کمتر از روش FD و FE حل نمود و کماکان خطاهایی کمتر از این دو روش به دست آورد. به عنوان مثال خطای به دست آمده از این روش هنگامی که تعداد تقسیم بندیها 3×2 است در حدود 16% خطایی است که از دو روش FD و FE با تقسیم بندی 24×16 به دست میآید.
4-1-11 مثال 11) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مثلثی و شرایط مرزی شکل 4-27
این مثال نیز دقیقأ همان مثال 4 میباشد که هم اکنون با استفاده از روش شبکهای غیر منشوری حل میگردد. شکل این مسأله در زیر نشان داده شده است.
همانطور که قبلاً نیز گفته شد برای حل این مسأله با استفاده از روش FE بایستی از عناصر مثلثی استفاده نمود که با توجه به آرایش عناصر به کارگرفته شده (شکل 4-11) جوابهای حاصل از روش FE با روش FD یکسان میگردند.
شکل 4- 27. دامنه‌ی مثلثی در نظر گرفته شده برای مثال 11
برای حل این مسأله معادلهی 3-66 برای تمامی گرههای داخلی استفاده میشود. از آنجا که معادلهی مربوط به گره داخلی همانند مثال پیشین است از ذکر آن معادله خودداری میگردد و تنها به معادلهی گرههای مرزی پرداخته میشود. برای گرههای روی مرز نیز بایستی از گرههای موهومی استفاده نمود. معادلهی حاکم برای دو گرهی که روی مرز بالایی (2) و وتر مثلث (7) قرار دارند به ترتیب برابر است با:
4-34
4-35
با نوشتن معادلات مربوط برای تمامی گرهها و حل دستگاه به دست آمده نتایج جدول 4-22 به دست میآیند.
جدول 4- 22. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه‌ی مثال 11 به ازای روشهای مختلف
No. of grids
TAE
FD (=FE)
SDPNMi
n=-∞
n=-1.2
n=-0.8
n=-0.4
n=0
n=+∞
2×2
5.609
5.609
2.420
0.692
1.536
4.057
13.102
4×4
1.184
1.184
0.450
0.073
0.393
0.894
2.464
8×8
0.262
0.262
0.097
0.013
0.090
0.199
0.530
16×16
0.061
0.061
0.022
0.003
0.021
0.046
0.122
در این مثال نیز به ازای بازهی 25/0≤ n ≤ -∞ نتایج به دست آمده از دقت بیشتری نسبت به روش FD برخوردار هستند. در این مثال نیز هدف اصلی پیدا کردن ضریب n به نحوی است که بتوان خطای حاصل از این روش را به کمترین حد خود رساند. نتایج حاصل از این بهینه یابی در جدول 4-23 گزارش شده‌اند.
جدول 4- 23. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده با استفاده از n بهینه و دو روش FD و FE
No. of grids
Optimum curvature number (n)
TAE
SDPNMi
FD
2×2
-0.69363
1.748241×10-1
5.609059
4×4
-0.73622
7.351004×10-3
1.184192
8×8
-0.74688
3.362577×10-4
0.262223
16×16
-0.74924
1.730386×10-5
0.06098
در این مسأله نیز مانند مثال پیشین با افزایش تعداد تقسیم بندیها ضریب n به سمت عدد 75/0- میل میکند. با حل این مسأله با ضریب 75/0-n= جدول 4-24 و نمودار 4-28 به دست میآیند.
جدول 4- 24. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده با استفاده از 75/0- n= و دو روش FD و FE
No. of grids
FD=FE
SDPNMi (n=-0.75)
2×2
5.609059
0.438031
4×4
1.184192
0.018619
8×8
0.262223
0.000916
16×16
0.06098
5.01E-05
شکل 4- 28. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
با استفاده از برازش منحنی میتوان معادلهی حاکم بر میانگین خطای کل دامنه بر حسب تعداد تقسیم بندی را به دست آورد. معادلات برازش شده در زیر نشان داده شده‌اند:
4-36 (الف)
4-36 (ب)
با توجه به معادلات 4-36 نرخ همگرایی روش ارائه شده از مرتبهی ونرخ همگرایی روش FD از مرتبهی میباشد. خطای حاصل از روش SDPNMi غیر منشوری به ازای تقسیم بندی 2×2 حدود 10/1 خطای روش FD میباشد و این نسبت هنگامی که تقسیم بندیها 16×16 باشد به میزان 1000/1 خواهد رسید. با توجه به نرخ همگرایی بیشتر روش SPNMi میتوان با تقسیم بندی 4×4 خطایی معادل با 30% خطای روش FD با تقسیم بندی 16×16 به دست آورد.

مطلب مرتبط با این موضوع :  پایان نامه رایگان با موضوعDPPA2، سرطانی، میزان

دیدگاهتان را بنویسید