منابع پایان نامه با موضوع گرههای، روشهای، افزایش

آب درون دو مخزن سمت چپ و راست را میتوان با استفاده از شیرهای خروجی طی زمان ثابت نگاه داشت.
3-3-3-2 آزمایش آبخوان آزاد
این آزمایش شبیه به آزمایش بالاست تنها با این تفاوت که ارتفاع شیر خروجی مرز سمت چپ بایستی از ارتفاع شبکه کمتر باشد. با تعبیهی این شیر در ترازی پایین تر از ارتفاع کل شبکه، مقداری از مجاری به علت کمبود فشار از آب خالی خواهند شد و آبخوان آزاد را شبیه سازی مینمایند.
شکل 3- 24. مدل آزمایشگاهی برای شبیه سازی آبخوان آزاد
3-3-3-3 آزمایش لایه‌ی غیر قابل نفوذ
این آزمایش سعی در شبیه سازی حرکت آب از زیر سد با وجود پردهی آب بند را دارد. برای این کار میتوان با برداشتن لولههای مناسب وجود پردهی آب بند را شبیه سازی نمود. در شکل 3-25 حرکت آب در زیر سد و مدل آزمایشگاهی متناسب با آن نشان داده شدهاند.
شکل 3- 25. (a) وجود پرده‌ی آب بند در محیط متخلخل واقعی. (b) نحوه‌ی شبیه سازی پرده‌ی آب بند در آزمایشگاه
3-3-3-4 آزمایش ناهمگن و ناهمسان بودن محیط متخلخل
همانطور که در قسمتهای گذشته گفته شد میتوان با تغییر قطر لولهها تغییرات ضریب هدایت هیدرولیکی را مدل نمود. در قسمتهای گذشته ذکر شد که بجای این کار می‌توان طول لوله را تغییر داد. این امر باعث سهولت در انجام آزمایش خواهد شد بدین صورت که به جای تغییر قطر لوله در ناحیهی مورد نظر که بایستی همراه با تغییر قطر چهارراههای پلاستیکی باشد، لولههای نواحی مورد نظر با لولههایی با طولهای متفاوت جایگزین میشوند. لازم به ذکر است که رابطهی طول لوله با ضریب هدایت هیدرولیکی محیط متخلخل به صورت معکوس می‌باشد بدین معنی که برای مدل نمودن نصف شدن ضریب نفوذپذیری محیط متخلخل طول لولههای متناظر با آن ناحیه دو برابر میگردند. در شکل 3-26 در ناحیهی مرکزی مدل آزمایشگاهی، طول لولههای طولی برای مدل سازی کاهش ضریب هدایت هیدرولیکی افزایش یافتهاند.
شکل 3- 26. افزایش طول لوله‌های مدل آزایشگاهی به منظور شبیه سازی کاهش ضریب نفوذ پذیری
3-3-3-5 آزمایش جریان ناماندگار
برای انجام این آزمایش مدل آزمایشگاهی مانند حالتهای فوق در حالت ماندگار قرار داده شده و سپس با باز کردن شیر خروجی در مرز سمت چپ یا سمت راست یا با افزایش دبی ورودی به این مرزها باعث ایجاد تغییر هد در آن مرزها میگردیم.
مثالهای عددی و آزمایشگاهی و بحث در نتایج به دست آمده
4-1 مقدمه
روشهای عددی مرسوم حل معادلات آب زیرزمینی دو روش تفاضل محدود و عناصر محدود میباشند (Baalousha, 2008) که هر کدام از این روشها مزایا و معایبی نسبت به یکدیگر دارند. به عنوان مثال مزیت روش عناصر محدود نسبت به تفاضل محدود در توانایی مدل کردن آبخوانها با مرزهایی که از لحاظ هندسی منظم نیستند می‌باشد. مزیت عمدهی روش تفاضل محدود در سادگی به کار گیری آن و به دست آوردن دقتهایی که قابل مقایسه با روش عناصر محدود اند میباشد.
دو روش یاد شده در بالا و به طور کلی روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل جزئی، معادلهی حاکم بر آبهای زیرزمینی را به صورت دستگاهی خطی از معادلات و مجهولها در می‌آورند. تعداد این معادلات بستگی به تعداد گرههای قرار داده شده در دامنهی مورد بحث دارد. همانطور که در فصل گذشته ذکر شد روش شبکهای نیز معادلهی حاکم را به دستگاهی خطی تبدیل مینماید. در این بخش ابتدا به حل مسائل مختلف با استفاده از روشهای ارائه شده در فصل گذشته و دو روش تفاضل محدود و عناصر محدود پرداخته میشود. سپس با مقایسهی ماتریس به دست آمده و همچنین نتایج به دست آمده از این روشها با دو روش عددی یاد شده، روشهای ارائه شده نقد میگردند. پس از اینکه توانایی روشهای شبکهای برای حل مسائل آبهای زیرزمینی در حالت اشباع اثبات شد در قسمت بعدی این فصل نتایج حاصل از مدل آزمایشگاهی و مقایسهی آن با نتایج تحلیلی و یا عددی ارائه میگردد.
لازم به ذکر است روش عناصر محدودی که در این تحقیق از آن استفاده شده است روش استفاده از معادلات درون یاب خطی میباشد که با توجه به دامنهی مورد نظر عناصر مستطیلی، مثلثی و یا غیر نظام مند مورد استفاده قرار گرفتهاند.
4-2 مثالهای عددی
هدف از این بخش نشان دادن به کارگیری روشهای ارائه شده در فصل گذشته برای حل معادلات آبهای زیرزمینی میباشد. در این بخش چندین مسأله با روشهای شبکهای و روشهای عددی دیگر مانند تفاضل محدود و عناصر محدود حل شده و با مقایسهی خطاهای به دست آمده روش شبکهای نقد و بررسی میگردد.
4-1-1 مثال 1) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مربعی و شرایط مرزی شکل 4-1
در این مسأله یک آبخوان به صورت مربعی با طول L و عرض L مدل میگردد. شرایط مرزی این آبخوان به صورت دیریشله برای مرزهای چپ، بالا و راست و شرط برای مرز پایین میباشند. آبخوان مورد نظر و شرایط مرزی آن در شکل 4-1 نشان داده شده‌اند. برای حل این مسأله ابتدا دامنهی آن به 4 قسمت تجزیه شده و سپس طی دفعات متعدد هر کدام از این قسمتها به چهار قسمت مساوی تقسیم میشوند. با این کار میتوان به تأثیر تعداد گرهها بر دقت به دست آمده پی برد. در شکل نشان داده شده دامنهی مورد بحث به شانزده قسمت مساوی تقسیم گشته است.
این مسأله در ابتدا با استفاده از روش SPNM حل خواهد شد و سپس با بهبود این روش با در نظر گرفتن اتصالات بیشتر (SDPNM) و در نظر گرفتن گرهها و لولههای مجازی (iSDPNM) این مسأله حل میگردد. پس از حل این مسأله با استفاده از روشهای شبکهای، این مسأله با روشهای تفاضل محدود و عناصر محدود حل گشته و سپس با مقایسهی آنها با جواب تحلیلی (پیوست 1) دقت روشهای عددی به کار رفته بررسی میشوند.
شکل 4- 1. محیط متخلخل مربعی با ابعاد L×L مربوط به مثال 1
برای حل این مسأله با استفاده از روش SPNM ابتدا معادلهی 3-13 برای گره داخلی ای مانند گره 6 نوشته شده و سپس این معادله برای سایر گرههای داخلی به کار برده میشود. با کاربرد این معادله میتوان نوشت:
4-1
برای گرههای روی مرز می‌بایستی از معادلهی 3-16 سود جست. این معادله برای گره دلخواهی مانند 8 به صورت زیر نوشته می‌شود:
4-2
این معادله نیز برای سایر گرههای روی مرز بایستی نوشته شود. با نوشتن معادلات مربوطه برای تمامی گرهها به دستگاهی از معادلات جبری خطی خواهیم رسید که با حل این دستگاه جواب مسألهی مورد نظر به دست خواهد آمد. دستگاه حاصل از روابط بالا برای حالتی که در آن دامنه به شانزده مربع هم اندازه تقسیم گردد به صورت معادلهی 4-3 میباشد:
4-3
برای حل این مسأله با استفاده از روش SDPNM معادلهی 3-33 برای گرهی داخلی مانند 5 به کاربرده میشود:
4-4
با به کار گیری معادلهی 3-36 برای گرهی مانند 8 که روی مرز قرار گرفته است:
4-5
با به کار گیری معادلات بالا برای سایر گرههای مربوطه دستگاه زیر به دست خواهد آمد:
4-6
برای حل این مسأله با استفاده از گرههای مجازی میتوان گرههای مجازی را هم برای SPNM و هم برای SDPNM در نظر گرفت. با توجه به مطالب بخش گذشته از آنجا که معادلات به دست آمده با استفاده از در نظر گرفتن گرههای مجازی در روش SPNM دقیقا با روش تفاضل محدود یکی خواهد شد از این پس گرههای مجازی را تنها در روش SDPNM به کار خواهیم برد (SDPNMi). برای حل مسألهی مذکور با روش SDPNMi معادلات 3-33 و 3-48 را برای گرههای داخلی و مرزی به کار می‌بریم. کاربرد این معادلات برای گرههایی مانند 6 و 8 به صورت معادلات 4-7 و 4-8 خواهد شد:
4-7
4-8
با نوشتن معادلات بالا برای سایر گره های مربوط دستگاه 4-9 حاصل میشود:
4-9
ماتریسهای به دست آمده از روش FD و FE به ترتیب به صورت معادلات 4-10 و 4-11 خواهند بود:
4-10
4-11
ماتریس به دست آمده با استفاده از روش SPNM دارای تعداد قطرهای فرعی غیر صفر یکسان با ماتریس روش تفاضل محدود میباشد. این بدان علت است که در هر دو روش تعداد نقاط همسایگی یک نقطه برابر با چهار در نظر گرفته شده است. ضرایب روی قطر اصلی و فرعی هر دو ماتریس برای گرههای داخلی به ترتیب برابر با 4 و 1- میباشد. تنها تفاوت این دو ماتریس در ضرایب قطر اصلی برای گرههای روی مرز و ضریب اتصال آنها به گره بالایی خود میباشد. این ضرایب به ترتیب در روش SPNM برابر با 3، 1- و در روش تفاضل محدود به ترتیب برابر با 4، 2- میباشند. ماتریسهای به دست آمده از دو روش SDPNM و SDPNMi نیز دارای تعداد قطرهای فرعی غیر صفر یکسان با روش عناصر محدود میباشند. علت این امر نیز در تعداد نقاط همسایگی این روشها میباشد که در هر سه روش برابر با هشت است. در ماتریسهای به دست آمده با روش SDPNM و SDPNMi ضرایب قطرهای فرعی بر خلاف روش عناصر محدود یکی نیست که این امر به علت این است که در روش SDPNM طبق معادلهی 3-33 ضرایب متناسب با طول میباشند ولی در روش عناصر محدود این ضرایب با هم برابر هستند.
چنانچه تقسیم بندی دامنهی مسأله ریزتر و یا بزرگتر شود، تعداد گرههای مسأله افزایش و یا کاهش خواهند یافت. در این حالت نیز با اعمال معادلات مربوطه برای تمامی گرهها ماتریسهای دیگری که به همان نحو نشان داده شده ساخته میشوند حاصل خواهند شد.
برای بررسی دقت روش ارائه شده در ابتدا با افزایش تعداد تقسیم بندی دامنهی مسأله درصد خطا در گرهی مانند 5 محاسبه شده و با خطاهای به دست آمده توسط روشهای FD و FE مقایسه میگردد. برای این کار جواب مسأله توسط ماتریسهای به دست آمده محاسبه شده و سپس با مقایسه‌ی آنها با جواب تحلیلی، مقدار درصد خطای نسبی یا همان Percent Relative Error (PRE) محاسبه می‌شود. خطای نسبی طبق تعریف برابر است با:
4-12
میزان درصد نسبی خطای به دست آمده در گره 5 با استفاده از روشSPNM, SDPNM SDPNMi, FD, FE در جدول 4-1 و شکل 4-2 گزارش و نمایش داده شدهاند.
جدول 4- 1. درصد خطای نسبی به دست آمده در نقطه‌ی مرکزی مثال 1 با استفاده از روشهای مختلف
No. of Grids
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
8.459
8.951
5.868
7.635
6.728
8×8
2.156
2.187
0.808
2.221
1.653
16×16
0.542
0.544
0.172
0.717
0.412
32×32
0.136
0.136
0.235
0.260
0.103
64×64
0.034
0.034
0.156
0.105
0.026
شکل 4- 2. درصد خطای نسبی نقطه‌ی 5 بر حسب افزایش تقسیم بندی دامنه
همانطور که مشاهده میشود با افزایش تعدد گرهها میزان خطای به دست آمده به صورت کلی کم میشود، هر چند که این امر در روش SPNM به ازای تعداد گرههایی برابر با 32×32 نقض میگردد. این امر میتواند بدین علت باشد که همانطور که در بخش 4 ذکر گردید روش SPNM تلفیقی از دو روش تفاضل محدود به صورت مرکزی و پیشرو میباشد. این دو روش هر کدام دقت متفاوتی دارند. روش مرکزی دقتی برابر با x2Δ و روش پیشرو دقتی برابر با Δxدارد که این تفاوت علت عدم کاهش خطا با افزایش تعداد گرهها در تقسیم بندی 32×32 بوده است. این عیب با افزایش اتصالات (SDPNM) بر طرف گردیده است. همانطور که مشهود است افزایش تعداد اتصالات گرهها باعث کاهش خطای نسبی گره 5 نگردیده، که این امر موضوعیت کلی نداشته و همانگونه که بعداً نشان داده میشود در نقاط دیگر باعث بهبود خطا گشته و در کل میانگین خطا را بهبود میبخشد. نکتهی بارزی که در جدول 4-1 و شکل 4-2 مشهود است تأثیر در نظر گرفتن گرههای مجازی میباشد. با در نظر گرفتن این گرهها و همچنین افزایش اتصالات (SDPNMi) خطای به دست آمده هم روند کاهشی نسبت به افزایش گرهها را از خود نشان میدهد و هم اینکه در مقایسه با دو روش تفاضل و عناصر محدود خطای کمتری دارد. برای اینکه بتوان میزان دقت روشهای فوق را برای تمام دامنهی مورد نظر بررسی کرد، بایستی:
1) میزان درصد

مطلب مرتبط با این موضوع :  منابع پایان نامه با موضوعقانون حاکم، پژوهشگران

دیدگاهتان را بنویسید