منابع پایان نامه با موضوع مقدار خطا

خطای نسبی تمامی گرهها به دست آورده شود و سپس از آنها میانگین گیری گردد. این خطا Total Averaged Error (TAE)نامیده می‌شود.
2) میزان بیشترین و کمترین خطای به دست آمده در کل دامنه ذکر گردد.
3) تعداد گرههایی که در آنها روشهای مختلف شبکهای از روشهای تفاضل و عناصر محدود دقیقترند مشخص شوند.
این موارد به ترتیب در جداول 4-2 تا 4-4 گزارش داده شدهاند. نمودار میانگین خطای کل دامنه به همراه تغییرات این خطاها نیز در شکل4-3 مشخص شده است.
جدول 4- 2. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
10.490
10.738
6.571
12.408
8.108
8×8
2.407
2.424
3.099
3.882
1.834
16×16
0.573
0.574
1.736
1.396
0.435
32×32
0.139
0.140
0.952
0.567
0.106
64×64
0.034
0.034
0.474
0.239
0.026
جدول 4- 3. بیشترین و کمترین درصد خطای نسبی به دست آمده در کل دامنه به ازای روشهای مختلف به کار رفته
No. of Grids
max
min
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
16.14
16.03
14.32
24.28
12.16
4.00
4.43
16.14
16.03
14.32
8×8
4.03
4.02
12.64
10.29
3.05
0.51
0.53
4.03
4.02
12.64
16×16
1.01
1.01
7.94
4.62
0.76
0.06
0.07
1.01
1.01
7.94
32×32
0.25
0.25
4.42
2.17
0.19
0.01
0.01
0.25
0.25
4.42
64×64
16.14
16.03
14.32
24.28
12.16
4.00
4.43
16.14
16.03
14.32
جدول 4- 4. در صد نقاطی که با استفاده از روش SDPNMi نسبت به دو روش FD و FE از درصد خطای نسبی کمتری برخوردار هستند
No. of Grids
Compared to FD
Compared to FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
100.00
50.00
100.00
100.00
50.00
100.00
8×8
75.00
37.50
100.00
75.00
37.50
100.00
16×16
56.25
25.00
100.00
56.25
25.00
100.00
32×32
40.63
6.25
100.00
40.63
6.25
100.00
64×64
23.44
0.00
100.00
23.44
0.00
100.00
شکل 4- 3. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
با توجه به جدول 4-2 مشخص میشود که هنگامی که تعداد تقسیم بندیها به اندازهی کافی زیاد باشند افزایش میزان اتصالات (SDPNM) باعث کاهش میانگین خطای کل دامنه درمقایسه با روش (SPNM) میشود. این امر تأییدی است بر اینکه افزایش اتصالات باعث بهبود نتایج خواهد شد. این امر به علت این است که با افزایش میزان اتصالات، دادهها راحت تر و مناسب تر در تمام دامنه پخش خواهند شد. با توجه به همان جدول مشخص است که خطای میانگین روش SDPNM برای تعداد گرههایی معادل با 16×16 حدود 80% خطای روش SPNM میباشد. این نسبت به مقدار 50% برای تعداد گرههایی برابر با 64×64 میرسد. همانطور که مشهود میباشد تأثیر گذارترین امر در بهبود جوابها در نظر گرفتن گرههای موهومی برای شرایط مرزی میباشد. با استفاده از این گرهها و همچنین افزایش اتصالات میزان خطای به دست آمده توسط روش (SDPNMi) از کلیهی روشهای دیگر من جمله دو روش تفاضل و عناصر محدود کوچکتر خواهد بود. این میزان تقریباً برابر با 75% در مقایسه با دو روش FD و FE می‌باشد.
با توجه به جدول 4-3 بیشترین و کمترین مقدار خطای روش SDPNMi از دو روش تفاضل و عناصر محدود کمتر میباشد. به عبارت دیگر بازهی تغییرات خطا در روش SDPNMi از دو روش فوق الذکر کمتر است که این نیز مزیتی دیگر نسبت به دو روش یاد شده میباشد.
جدول 4-4 نشان دهندهی این امر است که به غیر از اینکه روش SDPNMi باعث کاهش میانگین خطا درتمام دامنه میشود میزان درصد خطای نسبی تمامی گرهها به صورت تک تک نیز از خطای به دست آمده توسط روش FD , FE کمتر میباشد.
با استفاده از برازش یک منحنی مناسب میتوان معادلهی حاکم بر میانگین خطای کل (TAE) دامنه بر حسب تعداد تقسیم بندی را به دست آورد. معادلات برازش شده در زیر نشان داده شدهاند.
FD:
4-13 (الف)
FE:
4-13 (ب)
SPNM:
4-13 (پ)
SDPNM:
4-13 (ت)
SDPNMi:
4-13 (ث)
با در نظر گرفتن معادلات بالا مشخص است که میانگین خطای کل دامنه در روش SDPNMi از بقیهی روشها کمتر میباشد.
لازم به ذکر است که در سه روش SDPNMi, FE, FD بیشترین میزان خطا روی مرز غیر قابل نفوذ (شرایط نیومن) اتفاق میافتد. این امر به علت ضعیف تر بودن شبیه سازی این نوع مرزها میباشد. بنابراین میتوان انتظار داشت که به جای اینکه در تمامی دامنه از روش SDPNMi استفاده کرد، این روش را فقط در نقاط مرزی به کار برد و برای سایر نقاط از روش SPNM استفاده نمود. نحوهی به کارگیری این روش در شکل 4-4 نمایش داده شده است.
معادلات حاکم بر نقاط میانی ای که فقط به چهار گرهی که در بالا، پایین، چپ و راست خود قرار دارند به صورت SPNM و معادلات گرههایی که روی مرز قرار دارند به صورت SDPNMi میباشد. تنها تفاوت این مسأله در گرههایی است که از سمت بالا به صورت SPNM و از سمت پایین به صورت SDPNMi میباشند (3، 7 و 11). معادلهی این گرهها را میتوان برای گرهی مانند 7 به صورت معادلهی 4-14 نوشت:
4-14
شکل 4- 4. کاربرد اعضای قطری تنها در المانهایی که به مرز چسبیده هستند
و با تعمیم این معادله به سایر گرههای مربوط میتوان مسأله را حل نمود. میانگین خطای به دست آمده از این روش در جدول 4-5 مشخص شده است. با توجه به نتایج به دست آمده میانگین خطای این روش در مقایسه با دو روش FD, FE همیشه کمتر میباشد و با افزایش تعداد گرهها این نسبت به سمت 1 میل میکند. این امر نیز بدین علت میباشد که با ازدیاد تعداد گرهها درصد گرههای که به صورت ذکر شده اصلاح شدهاند کاهش مییابند. با استفاده از این روش نیز در تمامی نقاط خطای نسبی نسبت به دو روش FD, FE کمتر میباشد.
جدول 4- 5. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده با به کار گیری اعضای قطری تنها در المانهایی که به مرز غیر قابل نفوذ چسبیده‌اند
No. of Grids
TAE
4×4
7.593
8×8
2.145
16×16
0.545
32×32
0.136
64×64
0.034
با توجه به نتایج به دست آمده میتوان ادعا نمود که به ازای تمامی تقسیم بندیها روش SDPNMi از دو روش FD و FE دقیقتر میباشد و لذا میتواند جایگزین مناسبی برای این دو روش در نظر گرفته شود.
4-1-2 مثال 2) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مربعی و شرایط مرزی شکل 4-5
این مسأله حرکت آب زیرزمینی را در حالت ماندگار برای آبخوان نشان داده شده در شکل 4-5 نشان میدهد. این آبخوان دارای لایهی نفوذناپذیر برای مرزهای پایین و راست وشرایط دریشله برای مرزهای چپ و بالا میباشد.
این مسأله نیز مانند مثال قبل با استفاده از روشهای SPNM, SDPNM, SDPNMi حل شده و سپس میزان خطای به دست آمده از این روشها با خطاهای حاصل از FD, FE مقایسه میگردند (جواب تحلیلی این مسأله درپیوست 2 آورده شده است).
شکل 4- 5. دامنه‌ی مربعی در نظر گرفته شده برای مثال2
حل این مسأله نیز مانند مثال پیشین میباشد، هرچند بایستی به این نکته توجه داشت که گرههای قرار گرفته روی مرز سمت راست نیز بایستی مانند گرههای روی مرز پایینی لحاظ شوند. تنها تفاوت این مسأله با مثال قبلی در نوشتن معادلهی مربوط به گرهی که در کنج سمت راست پایین قرار دارد میباشد. معادلات 4-15 تا 4-17 روابط مربوط به این نقطه را که در شکل 4-5 با شمارهی 16 مشخص گردیده است نشان می‌دهند:
SPNM
4-15
SDPNM
4-16
SDPNMi
4-17
مانند مثال پیش برای حل این مسأله با استفاده از روش SPNM به ترتیب از معادلات 3-13 و 3-16 برای گرههای داخلی و مرزی استفاده میگردد. معادلات گرههای داخلی و مرزی در دو روش SDPNM و SDPNMi نیز به ترتیب برابر با معادلات 3-33، 3-36 و معادلات 3-33، 3-48 میباشند.
برای مقایسهی نتایج به دست آمده با استفاده از روشهای شبکهای میزان نسبی خطا در نقطهای مانند 6 به دست آورده شده و با نتایج حاصل از دو روش FD و FE مقایسه می‌شوند. میزان خطاها بر حسب تعداد تقسیم بندی دامنه در جدول 4-6 و شکل 4-6 نمایش داده شدهاند.
جدول 4- 6. درصد خطای نسبی به دست آمده در مرکز دامنه‌‌ی مثال 2 با استفاده از روشهای مختلف
No. of Grids
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
1.174
1.206
3.663
0.394
0.896
8×8
0.296
0.298
1.779
0.455
0.225
16×16
0.074
0.074
0.878
0.293
0.056
32×32
0.019
0.019
0.436
0.163
0.014
شکل 4- 6. درصد خطای نسبی نقطه‌ی 5 بر حسب افزایش تقسیم بندی دامنه
طبق جدول 4-6 و شکل 4-6 مشخص میباشد که با افزایش میزان اتصالات (تبدیل SPNM به SDPNM) میزان خطای به دست آمده کمتر میشود. همانگونه که انتظار میرفت در نظر گرفتن گرهها و لولههای مجازی مهمترین تأثیر را در بهبود نتایج به دست آمده دارند.
برای مقایسهی کلی روشهای ذکر شده میانگین خطاهای نسبی تمام نقاط به همراه بیشترین و کمترین مقادیر آنها در جداول 4-7 و 4-8 و شکل 4-7 نشان داده شدهاند.
جدول 4- 7. میانگین درصد خطای نسبی کل دامنه به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
1.309
1.343
2.899
12.408
0.988
8×8
0.304
0.306
1.861
3.882
0.230
16×16
0.073
0.073
0.859
1.396
0.055
32×32
0.018
0.018
0.411
0.152
 0.013
جدول 4- 8. بیشترین و کمترین درصد خطای نسبی به دست آمده در کل دامنه به ازای روشهای مختلف
No. of Grids
Max
Min
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
FD
FE
SPNM
SDPNM
SDPNMi
4×4
1.83
1.87
5.78
24.28
1.39
0.59
0.61
1.83
1.87
5.78
8×8
0.46
0.46
5.82
10.29
0.35
0.07
0.08
0.46
0.46
5.82
16×16
0.12
0.12
3.00
4.62
0.09
0.01
0.01
0.12
0.12
3.00
32×32
0.03
0.03
1.53
0.57
0.01
0.00
0.00
0.03
0.03
1.53
شکل 4- 7. میانگین درصد خطای نسبی به دست آمده به همراه بازه‌ی تغییرات آن به ازای تقسیم بندیهای مختلف
همانطور که مشاهده میشود (جدولها‌ی 4-7 و 4-8 و شکل 4-7) نتایج به دست آمده از روش SDPNMi از بقیهی روشهای ارائه شده و همچنین دو روش FD و FE دقیقتر می‌باشند. خطای به دست آمده توسط روش SDPNMi هنگامی که تعداد تقسیم بندیها برابر با 2×2 باشد تقریبا 75% دو روش FD و FE می‌باشد و با افزایش تعداد تقسیم بندیها به سمت 79% میل میکند.
با استفاده از برازش منحنی میتوان معادلهی حاکم بر میانگین خطای کل دامنه بر حسب تعداد تقسیم بندی را به دست آورد. معادلات برازش شده در زیر نشان داده شدهاند:
FD:
4-18 (الف)
FE:
4-18 (ب)
SPNM:
4-18 (پ)
SDPNM:
4-18(ت)
SDPNMi:
4-18 (ث)
همانگونه که از فرمولهای بالا مشخص است کمترین میزان خطا مربوط به روش SDPNMi میباشد.
4-1-3 مثال 3) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مستطیلی و شرایط مرزی شکل 4-8
این مسأله حرکت آب زیرزمینی را در حالت ماندگار برای آبخوان مستطیلی نشان داده شده در شکل 4-8 نشان میدهد. از آنجا که در این مسأله شرایط مرزی همگی از نوع دریشله میباشند نیازی به استفاده از گرههای موهومی نمیباشد بنابراین این مسأله با استفاده از دو روش SPNM و SDPNM حل خواهد شد و نتایج به دست آمده با دو روش FD و FE مقایسه میشوند (جواب تحلیلی این مساله درپیوست 3 آورده شده است).
شکل 4- 8. دامنه‌ی مستطیلی L1×L5/1 برای مثال3
حل این مسأله نیز دقیقاً به صورت مسألهی قبل میباشد. تفاوت این مثال با مثالهای گذشته در این است که برای حل این مسأله با استفاده از روش SPNM از آنجا که گرههای مرزی همگی معلوم هستند تنها

مطلب مرتبط با این موضوع :  مقاله با موضوعسابقه خدمت، وجود رابط، وجود رابطه

دیدگاهتان را بنویسید