منابع پایان نامه با موضوع مقدار خطا

است. مرز سمت راست این مسأله از نوع دریشله با هدی برابر با صفر و مرز سمت چپ این مسأله از نوع نیومن و برابر با میباشد.
شکل 4- 19. مسأله‌ی زمانمند یک بعدی مربوط به مثال 7
برای حل این مسأله شکل مورد نظر به هشت قسمت مساوی تقسیم شده و از روش Crank-Nicolson برای تجزیهی زمانی با بازهی Δt=0.1 استفاده میگردد. لازم به ذکر است که چون مسأله به صورت یک بعدی میباشد نتایج به دست آمده از روش iSDPNM با روش FD یکی خواهند بود. از آنجا که مرز سمت چپ از نوع نیومن میباشد این مرز با استفاده از گره مجازی مدل سازی میشود. این امر در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل 4- 20. تقسیم بندی دامنه‌ی مورد نظر و در نظر گرفتن گره مجازی 1-
با استفاده از رابطهی 3-31 برای گرهی دلخواه مانند 1 میتوان نوشت:
4-27
همین معادله را میتوان برای تمامی گرههای دیگر نوشت. بایستی توجه داشت که هنگامی که این معادله برای گره 0 به کار گرفته می‌شود به مقدار h-1 نیاز می‌باشد که آن را میتوان با استفاده از رابطهی 3-42 به صورت زیر نوشت:
4-28
با در نظر گرفتن t=0 هد تمامی گرهها در زمان t+1 یا همان زمان 1/0 ثانیه به دست میآید. با ادامه این کار میتوان هد تمامی گرهها در زمانهای مختلف را به دست آورد. با استفاده از جواب تحلیلی مسأله که در پیوست 6 آورده شده است میتوان خطای حاصل از روشهای عددی مختلف به کار رفته شده را به دست آورد. برای اینکه بتوان بین این خطاها مقایسه کرد در زمانهای ثابت مقدار خطا در تمامی گرهها میانگین گیری شده است و مقدار بیشترین خطا و کمترین خطا در آن زمان در جدول 4-15 گزارش شده است. لازم به ذکر است که با استفاده از جواب تحلیلی، زمانی که مسأله به حالت steady state میرسد (زمانی که پس از آن تغییرات هد بر حسب زمان تا سه رقم اعشار تغییر نکند) برابر با 7/4 ثانیه است و بنابراین آخرین زمانی که مسأله در آن حل گردید برابر با 5 ثانیه در نظر گرفته شد.
جدول 4- 15. میانگین، بیشترین و کمترین خطا ی نسبی به دست آمده در کل دامنه‌ی مثال 7 به ازای زمانهای مختلف
FE
SDPNMi=FD
t (s)
TAE
Max. PRE
Min. PRE
TAE
Max. PRE
Min. PRE
0.50
13.82
17.35
6.22
14.22
17.63
7.92
1.00
3.43
4.21
1.51
3.53
4.13
2.46
1.50
0.94
1.64
0.39
0.95
1.13
0.50
2.00
0.40
0.89
0.21
0.28
0.32
0.16
2.50
0.20
0.51
0.06
0.08
0.10
0.02
3.00
0.20
0.51
0.06
0.02
0.03
0.01
3.50
0.13
0.36
0.01
0.01
0.01
0.00
4.00
0.09
0.24
0.00
0.00
0.00
0.00
4.50
0.07
0.18
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
0.06
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
با توجه به جدول بالا مشاهده میشود که تنها تا زمان t=1(s) خطای روش SDPNMi از خطای روش FE بیشتراست و پس از این زمان خطای روش SDPNMi از خطای روش FE کمتر میگردد. به عبارتی در حدود 80% آخر بازهی زمانی روش SDPNMi از دقت بیشتری نسبت به روش FE برخوردار است. نمایش تغییرات هد بر حسب زمان در طول این دامنه‌ی یک بعدی با استفاده از روشهای مختلف در شکل 4-24 نمایش داده شده‌اند.
شکل 4- 21. تغییرات هد بر حسب زمان با استفاده از روشهای مختلف در مثال 7
ادامه‌ی شکل 4- 21. تغییرات هد بر حسب زمان با استفاده از روشهای مختلف در مثال 7
4-1-8 مثال 8) مسأله‌ی حالت ناماندگار دو بعدی
در این مسأله حرکت غیر ماندگار آب زیرزمینی در دامنهی دو بعدی نشان داده شده بررسی گردیده است. دامنهی مورد نظر در ابتدا دارای هدی برابر با صفر در تمامی نقاط بوده است. مرزهای سمت چپ، بالا و پایین همگی از نوع دریشله و دارای هدی برابر با صفر هستند. مقدار هد مرز سمت راست در ابتدا برابر با صفر بوده و ناگهان به صورت تابعی سینوسی در می‌آید.
شکل 4- 22. مسأله‌ی زمانمند دو بعدی مربوط به مثال 8
برای حل این مسأله دامنهی آن به صورت بالا تقسیم گشته و معادلهی 3-31 با تقسیم بندی زمانی 0.1(s)=tΔ به کار گرفته میشود. نمایش ماتریسی معادلهی 3-31 برای مسألهی بالا به صورت زیر نوشته خواهد شد:
4-29
با داشتن هد گرههای مختلف در زمان t میتوان هد گرههای مختلف در زمان t+1 را به دست آورد. با در نظر گرفتن شرایط اولیه به عنوان هد در زمان t و تکرار این کار مقادیر مجهول هد در گرههای مختلف به ازای زمانهای مختلف به دست میآید. با مقایسهی جوابهای به دست آمده با جواب تحلیلی که در پیوست 7 نشان داده شده است میتوان به دقت روشهای ذکر شده پی برد. در جدول 4-16 میزان میانگین خطای تمامی گرهها در زمانهای ثابت مشخص شده است.
جدول 4- 16. میانگین، بیشترین و کمترین درصد خطای نسبی به دست آمده در کل دامنه‌ی مثال 8 به ازای زمانهای مختلف
t(s)
FD
FE
SDPNMi
TAE
Max
Min
TAE
Max
Min
TAE
Max
Min
0.5
61.78
85.40
33.12
24.54
38.82
10.12
33.02
51.68
13.69
1.0
37.30
59.56
14.03
12.20
18.76
5.56
15.15
24.35
6.08
1.5
19.37
33.99
5.32
8.54
12.36
4.46
8.42
12.82
3.93
2.0
8.18
16.05
1.09
7.68
10.85
4.21
6.37
9.23
3.32
2.5
2.36
5.02
0.98
7.50
10.52
4.15
5.80
8.22
3.15
3.0
2.08
2.60
1.41
7.46
10.46
4.14
5.64
7.94
3.10
3.5
4.18
5.06
2.88
7.45
10.44
4.14
5.60
7.86
3.09
4.0
5.35
7.12
3.23
7.45
10.44
4.14
5.58
7.84
3.09
4.5
6.00
8.27
3.42
7.45
10.44
4.14
5.58
7.84
3.08
5.0
6.36
8.91
3.53
7.45
10.44
4.14
5.58
7.83
3.08
Steady
6.82
9.71
3.66
7.45
10.44
4.14
5.58
7.83
3.08
با توجّه به جدول 4-16 دقت روش SDPNMi تا زمان t=1.5(s) نسبت به روش FE کمتر می باشد و پس از آن دقت روش SDPNMi نسبت به روش FE بهتر میگردد. این نسبت در ابتدا در حدود 35/1 و در انتها به مقدار 75/0 میرسد.
آنچه تا کنون گفته شد تأییدی بود بر امکان به کارگیری روش SDPNMi برای حل معادلات آبهای زیرزمینی در حالت اشباع. با توجه به نتایج به دست آمده برای مسائل ماندگار دقت روش یاد شده همواره از روشهای FD و FE بهتر بود که این امر خود نشانی از مزیت این روش نسبت به دو روش دیگر میباشد. برای حالت ناماندگار نیز روش ارائه شده تنها در بخش کوچکی از زمان شروع مسأله (حدود 20% اولیهی زمان) از دقت بیشتری نسبت به روش FE بر خوردار نبود. بنابراین میتوان روش SDPNMi را جایگزین مناسبی برای روش FD و FE دانست. در مثال بعدی به قابلیتی از روش SDPNMi پرداخته میشود که روش FD فاقد آن میباشد تا بدین ترتیب علاوه بر مزیت بالاتر بودن دقت، کاراتر بودن این روش نسبت به روش FD نیز بررسی گردد.
4-1-9 مثال 9) مسأله‌ی حالت ماندگار با شرایط مرزی منحنی
این مسأله به حل دو بعدی جریانی potential flow در اطراف یک استوانه میپردازد. مرزهای پایین و بالا غیر قابل نفوذ هستند و مرزهای سمت چپ و راست دارای هدی ثابت و به ترتیب برابر با 20 و 0 متر میباشند.
از آنجا که حل مسائلی که دارای مرزهای منحنی میباشند با استفاده از روش FD بسیار پیچیده میباشد این مسأله با روش FE و روشهای شبکهای حل میگردد و خطاها با مقایسهی جوابهای به دست آمده با جواب تحلیلی که در پیوست 8 آمده است به دست میآیند. شکل این مسأله و نحوهی تقسیم بندی آن در شکل 4-23 نمایش داده شده است. با توجه به اینکه تقسیم بندیهای مورد نظر مربعی نمیباشد، برای حل این مسائل بایستی از معادلهی‌‌‌‌‌‌ ‌3-53 استفاده نمود.
شکل 4- 23. (a) جریان پتانسیل در اطراف یک استوانه. (b) نحوه‌ی تقسیم بندی ربع سایه خورده شده
با توجه به اینکه این مسأله دارای تقارن حول دو خطوط مرکزی افقی و عمودی می‌باشد تنها لازم است که یک چهارم این مسأله حل گردد. این ناحیه در شکل 4-23(a) سایه زده شده است و تقسیم بندی آن در شکل 4-23(b) نشان داده شده است.
لازم به ذکر است که حل این مسأله با روش UPNM و UPNMi در مقایسه با روش FE از عملیات جبری بسیار کمتری برخوردار است که این امر نیز مزیت این روش نسبت به روش FE میباشد. برای حل این مسأله با روش UPNM معادلهی 3-53 برای گرهی دلخواه مانند گره 2 نوشته میشود:
4-30
با توجه به معادلهی 3-53 ضرایب گرههای مجاور گره دو در معادلهی بالا معکوس فاصله گرهها نسبت به گره دو میباشند و مجموع آنها ضریب گره 2 میباشد. این ضرایب در جدول زیر نشان داده شده‌اند.
جدول 4- 17. طول گره‌هایی که به گره 2 متصل هستند و به دست آوردن ضرایب آنها
Pipe
2A
10.77
0.09
1.09
2B
10.77
0.09
21
4.00
0.25
23
4.43
0.23
24
5.00
0.20
25
4.33
0.23
با اعمال معادلهی 3-53 به سایر گرهها چهار معادلهی دیگر نیز به دست میآید که با حل این پنج معادله و پنج مجهول میتوان جواب مسأله را به دست آورد.
برای حل این مسأله با استفاده از روش UPNMi بایستی برای گرههای مرزی که دارای شرایط نیومن میباشند از گرهها و لولههای مجازی استفاده نمود. به عنوان مثال برای مدل کردن گره 5 دو گره مجازی 2i و 3i و مجاری مجازی ارتباط دهندهی آنها در نظر گرفته می‌شوند. این امر در شکل 4-24 نشان داده شده است.
شکل 4- 24. در نظر گرفتن گره‌های مجازی 2 و3 به منظور بهبود در مدل سازی شرایط نیومن
معادلهی گره 5 در روش UPNMi به صورت زیر نوشته می‌شود:
4-31
با اعمال این روش به سایر گرههای مرتبط و حل دستگاه به دست آمده جواب مسأله به دست میآید. خطاهای به دست آمده از دو روش UPNM و UPNMi و همچنین روش FE در جدول 4-18 گزارش شدهاند.
جدول 4- 18. درصد خطای نسبی به دست آمده در گره‌های مختلف با استفاده از روشهای مختلف به کار رفته
PREs
Nodes
FE
UPNM
UPNMi
1
11.004
7.687
6.344
2
28.962
6.133
3.693
3
14.086
4.229
2.443
4
18.994
4.870
1.600
5
5.238
7.754
4.092
TAE
15.657
6.135
3.634
نتایج به دست آمده نشان میدهند که علاوه بر راحت تر بودن حل مسأله با روشهای شبکهای نسبت به روش FE این روشها از دقت بالاتری نیز برخوردار هستند. با مقایسهی نتایج دو روش UPNM و UPNMi بار دیگر این نکته تأیید میشود که به کارگیری گرههای مجازی دقت روش را تا حد قابل ملاحظهای افزایش میدهد. نتایج به دست آمده نشان میدهند که میانگین خطای به دست آمده با روش UPNM و UPNMi به ترتیب در حدود 40% و 25% خطای روش FE میباشند.
در قسمت 3-2-9 ذکر گردید که میتوان مجاری مدل شبکهای ارائه شده را غیر منشوری ساخت، خواه اینکه این مدل تنها از مجاری افقی و عمودی تشکیل شده باشد و خواه اینکه مجاری قطری هم در ساخت مدل به کار گرفته شده باشند. در این قسمت به حل دو مثال با استفاده از شبکهای ساخته شده از مجاری غیر منشوری پرداخته میشود. با توجه به آنچه که تا کنون گفته شد با در نظر گرفتن گرههای موهومی و اتصالات بیشتر دقت روشهای ارائه شده افزایش مییابد بنابراین در این دو مثال تنها از روش SDPNMi استفاده شده است.
4-1-10 مثال 10) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مستطیلی و شرایط مرزی شکل 4-25
این مثال دقیقاً همان مثال شمارهی 3 است که در همین فصل گفته شد. برای یاد آوری شکل این مسأله در زیر نشان داده میشود.
شکل 4- 25. دامنه‌ی مستطیلی L1×L5/1 برای مثال10
برای حل این مسأله با استفاده از شبکهی غیر منشوری معادلهی 3-66 برای تمامی گرههای داخلی استفاده میگردد. این معادله برای گرهی دلخواه مانند گره 5 نوشته می‌شود:
4-32
با اعمال معادلهی بالا به تمامی گرهها و حل دستگاه به دست آمده جواب مسألهی فوق پیدا میشود. آنچه که تفاوت و مزیت این روش نسبت به روشهای گذشته را

مطلب مرتبط با این موضوع :  منابع پایان نامه درموردماشین، مجازی، الگوریتم

دیدگاهتان را بنویسید