منابع پایان نامه با موضوع معادلهی، شبکهای، میتوان

{∂u/(∂n_x )} تنها یکی مجهول میباشد و دیگری به علت شرایط مرزی معلوم است. بنابراین دستگاهی n معادله و n مجهول حاصل خواهد شد.
روش عناصر مرزی به علت عدم احتیاج به تنظیم شبکه بندی در مسایلی که مرزها در حال حرکت هستند مانند به دست آوردن سطح آزاد آب در محیط متخلخل (1977 ,ttLigge) حرکت صفحه مشترک آب شور با آب شیرین (Liu et al., 1981) و همچنین حرکت سیال درون محیط متخلخل غیر همسان به کار گرفته شده است (1987 ,Cheng). کاربردهای دیگر این روش شامل شبیه سازی آب زیرزمینی (Cheng et al., 1993) و تداخل آب شور (Naji et al, 1999) میباشد.
2-3-5 روش عددی دیفرانسیل کوادراچر (differential quadrature method)
در این روش همانند روش تفاضل محدود مشتقها با تفاضل مقادیر تابع جایگزین می‌شوند با این تفاوت که مشتقات جزئی تابع در یک نقطه در یک راستای مشخص، بر اساس مجموع وزنی خطی مقادیر تابع در تمامی یا بعضی از نقاط همسایگی آن نقطه درهمان راستا بیان میگردد (شکل 2-26 و شکل 2-27). این روش از ایدهی انتگرال کوادراچر ناشی میشود.
چنانچه بخواهیم با استفاده از روش گفته شده مشتق را با تفاضلی از مقادیر تابع در نقاط مختلف جایگزین کنیم:
2-65
برای مشتقات بالاتر نیز میتوان از فرمول زیر استفاده کرد:
2-66
تابع وزن را میتوان بر اساس فرمولهای مختلفی که توسط محققین ارائه شده است محاسبه نمود (Iserles, 2009). مزیت روش ذکر شده در این است که از آنجا که مشتق در یک نقطه بر اساس مجموعهای از نقاط مجاورش محاسبه میشود برای حل یک مساله با دقت خاص با افزایش نقاط همسایه در محاسبهی مشتق میتوان شبکهی درشت تری رسم نمود.
شکل 2- 26. نحوه‌ی شبکه بندی و نقاط مؤثر در روش دیفرانسیل کودراچر (Iserles, 2009)
شکل 2- 27. نحوه‌ی شبکه بندی و نقاط مؤثر در روش دیفرانسیل کودراچر محلی (Iserles, 2009)
2-3-6 روشهای طیفی (spectral methods)
هنگامی که برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی از روشهایی مانند روش تفاضل محدود، حجم محدود و عناصر محدود استفاده میکنیم ماتریسهایی که از این روشها حاصل می‌شوند sparse میباشند که یعنی بیشتر درایههای این ماتریسها صفر میباشند. بنابراین برای معکوس کردن این ماتریسها از تکنیکهایی میتوان سود جست که حجم محاسباتی را بسیار کاهش میدهند. ایده‌ی اصلی روشهای طیفی این است که از ابتدا به جای تولید ماتریسی بزرگ که بیشتر درایههای آن صفر میباشند از همان اول ماتریس کوچکی تولید کرد که درایه‌های آن غیر صفر باشد (Bear et al., 2010).
معرفی روش شبکه‌ای به عنوان روشی عددی برای حل معادله‌ی آبهای زیرزمینی
3- 1 مقدمه
استفاده از مدلهای شبکهای طی دههی گذشته رشد چشمگیری داشته است. این مدلها به طور وسیع در رشتههای مهندسی نفت و محیط زیست به کار گرفته شدهاند. کاربرد مدل شبکهای در سالهای اخیر تنها به مواردی مانند محاسبات مربوط به جریان دو فازی و یا محاسبهی نفوذ پذیری محدود نشده است. کاربردهای جدید این نوع مدلها شامل بررسی جریان سه فازی، تأثیرhysteresis, wetability و انتقال جرم بین فازهای مختلف میباشد که به طور مشروح در فصل پیشینهی تحقیق ذکر شد.
هدف از انجام این تحقیق به کارگیری مدل شبکهای به عنوان روشی عددی برای حل معادلهی آب زیرزمینی در حالت اشباع میباشد، بدین معنی که مسألهی مورد نظر با استفاده از مدل شبکهای به گرههای مختلفی تقسیم میشوند و به جای حل کردن معادلهی دیفرانسیل جزئی حاکم بر مسأله، معادلهی حاکم بر مدل شبکهای حل میگردند.
این فصل از دو قسمت بررسی تئوریکی و آزمایشگاهی روشهای شبکهای تشکیل شده است. در ابتدا به بررسی مبانی تئوریکی آن روشها پرداخته میشود و در نهایت نیز مبانی ساخت آزمایشگاهی این شبکهها توضیح داده خواهد شد.
3-2 مبانی تئوریکی روشهای شبکه‌ای
در این قسمت ابتدا نشان داده میشود که معادلهی حاکم بر مدل شبکهای مورد نظر با معادلهی حاکم بر آبهای زیرزمینی در حالت اشباع یکسان میباشد. بنابراین با توجه به این نکته میتوان به جای حل معادلهی دیفرانسیل جزئی به حل مدل شبکهای پرداخت. سپس معادلات حاکم بر روش شبکهای استخراج میگردند و نحوهی به کارگیری این روابط برای حل مسائل مختلف نشان داده خواهند شد. پس از ارائه‌ی روشی جامع برای استفاده از مدلهای شبکهای به عنوان ابزار و روشی عددی، با تغییراتی مانند 1) نحوهی اتصال گرهها به یکدیگر، 2) نحوهی مدل کردن شرایط مرزی و 3) شکل هندسی مجاری ارتباط دهندهی حفرات، دقت روش و مدل ارائه شده بهبود داده می‌شوند.
3-2-1 معادله‌ی حاکم بر روش شبکه‌ای
در این تحقیق در ابتدا فرض میشود که محیط متخلخل را میتوان با مدلی شبکهای که از لولههایی که تنها به صورت افقی و عمودی به یکدیگر اتصال دارند شبیه سازی نمود. در این مدل تمامی لولهها که به عنوان مجاری محیط متخلخل در نظر گرفته میشوند به صورت استوانههایی که همگی دارای سطح مقطعی یکسان میباشند فرض میشوند. لازم به ذکر است که چنانچه ضریب هدایت هیدرولیکی نقاط مختلف محیط متخلخل متفاوت باشد، سطح مقطع این استوانهها نیز با همدیگر متفاوت خواهند بود.فرض دیگری که در ساختار مدل شبکهای انجام میشود این است که حجمی برای حفرات محیط متخلخل که همان محل تقاطع لولههای افقی و عمودی میباشند در نظر گرفته نمیشود. شکل 3-1 ساختار مدل شبکهای مستطیلی Rectangular Pore Network Model (RPNM) مفروض را نشان میدهد.
شکل 3- 1. ساختار شبکه‌ی مستطیلی روش شبکه‌ای (RPNM)
فرضیات لازم برای به دست آوردن معادلهی حاکم بر مدل شبکهای نشان داده شده به صورت زیر میباشند:
1) سیال مورد نظر سیالی است نیوتنی و تراکم ناپذیر.
2) جریان به صورت آرام و ماندگار میباشد.
3) از کشش سطحی می‌توان صرف نظر کرد.
شکل 3-2 المان پایه‌ای از RPNM را که برای به دست آوردن معادلهی حاکم مورد استفاده قرار میگیرد، نشان میدهد.
شکل 3- 2. المانی نشان داده شده از روش RPNM
معادلهی پیوستگی برای المان نشان داده شده به صورت زیر نوشته میشود:
3-1
3-2
که Qin و Qout به ترتیب برابر با دبی ورودی و دبی خروجی و u و v به ترتیب برابر با سرعت افقی و عمودی و ax و ay به ترتیب برابر با سطح مقطع لولههای افقی و عمودی میباشند. با توجه به اینکه سطح مقطع ها در راستای x و y یکسان میباشند:
3-3
از آنجا که معمولا حرکت آب زیرزمینی به صورت آرام میباشد، حرکت آب درون لولههای مدل RPNM نیز به صورت آرام در نظر گرفته میشود و بنابراین میتوان از قانون Hagen-Poiseuille استفاده نمود:
3-4
که در آن ijv سرعت سیال درون مجرای ارتباط دهنده گرهj وi ، lij طول این مجرا، h میزان هد هر گره،γ وزن مخصوص سیال وμ لزجت آن سیال میباشد.
با فرض اینکه طول لولهها (yΔ ,xΔ) از طول (L) و عرض (H) محیط متخلخل بسیار کوچکترند با جایگذاری معادلهی (3-4) در معادلهی (3-3)، معادلهی زیر به دست می‌‌آید:
3-5
3-6
و چنانچه ضریب با نفوذ پذیری خاک (K) معادل فرض شود:
3-7
با فرض همگن و همسان بودن محیط و مساوی در نظر گرفتن dx و dy معادلهی بالا به صورت زیر نوشته خواهد شد:
3-8
معادلهی فوق که معادلهی حاکم برRPNM میباشد همان معادلهی لاپلاس است. با توجه به اینکه معادلهی لاپلاس معادلهی حاکم بر جریان سیال درون محیط متخلخل در حالت اشباع و ماندگار میباشد میتوان نتیجه گرفت که جایگزینی محیط متخلخل با مدل در نظر گرفته شده خطایی در محاسبات وارد نخواهد کرد.
3-2-2 معادله‌ی جبری حاکم بر روش شبکه‌ای در حالت ماندگار
به طور کلی روشهای عددی مرسوم برای حل مسألهی آبهای زیرزمینی دو روش تفاضل محدود و عناصر محدود میباشند (Baalousha, 2008). برای حل این نوع مسائل با استفاده از دو روش ذکر شده، مسألهی مورد نظر در ابتدا به گرهها و یا عناصر مختلفی تقسیم بندی شده و سپس با استفاده از تکنیک های خاص هر کدام از این دو روش، رابطهی جبری خطی ای بین هر گره و گرههای احاطه کنندهی آن نوشته میشود.
1- گرههای داخلی: برای به دست آوردن معادلهی جبری حاکم بر RPNM معادلهی پیوستگی برای گرهای دلخواه (i) که در شکل 3-3 نشان داده شده است اعمال میشود. از آنجا که طول لولهها در راستای x و y با هم مساوی در نظر گرفته میشوند این مدل را به نام مدل شبکهای مربعی Square PNM (SPNM) مینامیم.
شکل 3- 3. گره داخلی دلخواه از شبکه‌ی مربعی (SPNM)
با اعمال معادلهی پیوستگی (معادله‌ی 3-9) و استفاده از قانون Hagen-Poiseuille (معادله‌ی 3-10)، معادله‌ی جبری حاکم بر روش شبکه‌ای در حالت ماندگار (معادله‌ی 3-11) به دست می‌آید:
3-9
3-10
3-11
که در آن:
3-12
چنانچه شبکهی مورد نظر مربعی فرض شود و کلیهی لولهها دارای قطری یکسان باشند معادلهی (3-11) به صورت زیر در خواهد آمد:
3-13
معادلهی فوق معادلهی جبری حاکم بر تمامی گرههای داخلی SPNM است و دقیقا شبیه به معادلهی تفاضلی روش تفاضل محدود مرکزی میباشد. نمایش محاسباتی معادلهی 3-13 در شکل 3-4 نشان داده شده است.
شکل 3- 4. نمایش محاسباتی گره داخلی از SPNM
گرههای مرزی: برای اینکه بتوان معادلهی حاکم را حل نمود شرایط مرزی باید به طور کامل مشخص باشند. شرایط مرزی را میتوان به سه دستهی کلی زیر تقسیم بندی نمود. این سه دسته در شکل (3-5) مشخص گردیدهاند. لازم به ذکر است که برای بررسی شرایط نیومن و رابین از آنجا که به مقدار شار احتیاج است گرهی را که بیرون مرز قرار دارد و میتواند به عنوان لولهای که باعث گذر شار از آن مرز میشود بایستی در نظر گرفت.
شکل3- 5. نمایش سه نوع شرط مرزی مختلف روی دامنه‌ای دلخواه از SPNM
الف) شرایط دریشله (Dirichlet): در این نوع مرزها مقدار جواب روی مرز مشخص است و بنابراین احتیاجی به نوشتن معادلهی جبری روی مرزها نیست. این نوع مرزها در رابطهای که برای نقاط مجهول اطراف آنها نوشته می‌شود تأثیر گذار خواهند بود. معادلهی حاکم بر گره (i) نشان داده شده در شکل 3-5 با استفاده از رابطهی 3-13 به صورت زیر نوشته خواهد شد:
3-14
3-15
ب) شرایط نیومن (Neumann): در این نوع مرزها مقدار مشتق جواب (شار) مشخص است . بنابراین معادلات جبری برای نقاط مرزی میبایستی نوشته شوند. این نوع مرزها در ابتدا برای حالت نفوذ ناپذیر و سپس برای حالت کلی شار مشخص بررسی میشوند.
شار صفر: این نوع شرایط در آبخوان، از وجود لایه ی نفوذ ناپذیری مانند تخته سنگ و یا لایهای با نفوذ پذیری بسیار کم مانند لایهای از خاک رس فشرده ناشی میشود. در این نوع مرزها جریان به عمق لایهی نفوذ ناپذیر وجود نخواهد داشت و بنابراین میتوان لولهای را که درون لایه میباشد حذف نمود (شکل 3-6).
شکل 3- 6. نمایش گرهی دلخواه واقع بر مرزی با شرایط
با به کارگیری معادلهی پیوستگی معادلهی حاکم بر گره نشان داده شده در شکل 3-6 برابر خواهد شد با:
3-16
شار غیر صفر: برای مدل نمودن این نوع گرهها گرهی فرضی خارج از دامنهی مسأله در نظر میگیریم که شار مورد نظر را به گره روی مرز انتقال دهد.
با توجه به رابطهی 3-4 میزان دبی ورودی به گره (j) نشان داده شده در شکل 3-7، از طریق گره مجازی 2 برابر است با:
3-17
3-18
شکل 3- 7. در نظر گرفتن نقطه ای بیرون از مرز برای بررسی شرایط
با نوشتن رابطهی پیوستگی برای گره مورد نظر معادلهی 3-19 به دست میآید:
3-19
که پس از ساده سازی به صورت زیر نوشته میشود:
3-20
در معادلهی بالا با جایگذاری β برابر با صفر شرایط غیر قابل نفوذ که همان معادلهی 3-16 میباشد به دست خواهد آمد. لازم به ذکر است که معادلهی 3-19 همانند معادلهی به دست آمده از روش پیش رو تفاضل محدود

مطلب مرتبط با این موضوع :  پایان نامه با کلید واژه هاینرم افزار، بهره بردار

دیدگاهتان را بنویسید