منابع پایان نامه با موضوع معادلهی، زیر، میتوان

میباشد.
پ) شرایط رابین (Robin): در این نوع شرایط ترکیب خطی از جواب و مشتق آن در مرز مشخص میباشد . این نوع از مرزها میتواند مشخص کنندهی مرزهای یک آبخوان تراوا leaky aquifer باشد.
شکل 3- 8. در نظر گرفتن نقطه‌ای بیرون از مرز برای بررسی شرایط
با استفاده از معادلهی 3-4 معادلهی جبری حاکم بر این نوع شرایط را برای نقطهی k میتوان به صورت زیر به دست آورد:
3-21
3-22
و با نوشتن معادله‌ی پیوستگی:
3-23
3-24
معادلهی 3-24 دقیقا به صورت معادلهی حاکم بر شرایط رابین از طریق روش تفاضل محدود پیش رو میباشد.
3-2-3 تأثیر ناهمگنی و ناهمسانی بر معادلات جبری حاکم
کمتر آبخوانی را میتوان یافت که ضریب هدایت هیدرولیکی آن در نقاط مختلف و جهات مختلف کاملا یکسان باشد. بنابراین روابط به دست آمده در قسمت قبل را برای به کارگیری در این نوع آبخوانها نمیتوان عینا به کار برد. با مقایسهی رابطهی 3-6 و3-7 میتوان چنین نتیجه گرفت که ضریب در روش شبکهای معادل ضریب نفوذ پذیری )K( در آبخوان میباشد. بنابراین مقادیر مختلف K باعث تغییر در قطر لوله خواهند شد. با توجه به اینکه در این حالت ضرایب Cij دیگر یکسان نیستند رابطهی پیوستگی را برای گرهی مانند i که واقع در آبخوانی غیر همگن است (شکل 3-9) میتوان به صورت زیر نوشت:
3-25
شکل 3- 9. کاهش قطر به منظور مدل سازی کاهش ضریب هدایت هیدرولیکی
به عنوان مثال چنانچه ضریب هدایت هیدرولیکی سمت راست گره مورد نظر نصف ضریب هدایت هیدرولیکی سمت چپ آن باشد () معادلهی جبری حاکم بر گره (i) به صورت زیر نوشته می‌شود:
3-26
3-2-4 تزریق و برداشت
تزریق و برداشت در آبخوانها معمولا با استفاده از حلقههای چاه صورت میپذیرند. به علت شعاع کم چاهها در مقایسه با اندازهی آبخوان، میتوان آنها را به صورت بار نقطهای در نظر گرفت. معادلهی پیوستگی را میتوان برای نقطهای که در آن تزریق و یا برداشت وجود دارد (نقطه‌ی i) به صورت زیر نوشت:
3-27
که علامت مثبت نشان دهندهی تزریق و علامت منفی نشان دهندهی برداشت میباشد.
3-2-5 معادله‌ی جبری حاکم بر روش شبکه‌ای در حالت ناماندگار
با اعمال معادلهی 3-13 برای گره‌های داخلی و معادلات 3-20 و 3-24 برای گره‌های مرزی معادلهی پواسون با استفاده از روش SPNM به دستگاهی از معادلات جبری خطی تبدیل می‌‌شود. این بدین معنی است که میتوان عملگررا با جایگزین نمود. برای حل مسائل زمانمند تجزیهی مکانی با استفاده از ماتریس سختی به دست آمده انجام شده حال آنکه برای تجزیهی زمانی از روش تفاضل محدود استفاده میشود. تجزیهی زمانی را با استفاده از روش تفاضل محدود میتوان هم به صورت پیشرو هم پسرو و هم به صورت Crank-Nicolson انجام داد که در زیر این سه روش نشان داده میشوند. معادلهی زمانمند حاکم بر آبخوانی محصور در حالت اشباع به صورت زیر می‌‌باشد:
3-28
که در آن K ضرییب نفوذ پذیری محیط متخلخل میباشد.
روش پیشرو:
3-29
روش پسرو:
3-30
روش Crank-Nicolson:
3-31
لازم به ذکر است که مانند روشهای عددی تفاضل محدود و عناصر محدود بایستی در انتخاب گام زمانی در روش پیشرو دقت نمود تا جواب ناپایدار نگردد. به عبارت دیگر بایستی توجه نمود که مقدار عددی گام زمانی در روش پیشرو همواره از 5/0 در حالت یک بعدی و از 125/0 در حالت دو بعدی کمتر باشد. شایان ذکر است که استفاده از دو روش پس رو و Crank-Nicolson باعث میگردد که جواب به دست آمده همواره پایدار باشد و بنابراین مقدار عددی گام زمانی هر عددی را میتواند اختیار نماید.
3-2-6 آبخوان محصور و آزاد
از آنجا که معادلهی آبخوان آزاد به صورت میباشد می‌توان با تغییر متغیر آن را به صورت معادلهی نوشت که همان معادلهی لاپلاس یا معادلهی حاکم بر روش شبکهای میباشد. تفاوت روش حل آبخوان آزاد نسبت به آبخوان محصور در این میباشد که در آبخوان آزاد یکی از مرزها سطح آزاد آب میباشد که خود مجهول است. به عبارتی یکی از مرزهای این نوع آبخوان جزء خروجیهای مسأله می‌باشد نه ورودی مسأله. این نوع مسائل را که به free surface boundary معروفند میتوان به چند روش حل نمود که در زیر دو روش توضیح داده میشوند.
1- در این روش ابتدا سطح آزاد آب به صورت فرضی ترسیم میشود. با این کار عملاً تمام مرزها معلوم خواهند بود. سپس با استفاده از این مرز فرضی دامنهی به دست آمده تقسیم بندی شده و سپس با روش عددی مورد نظر حل میگردد. پس از حل نمودن مسأله چنانچه فرض انجام شده درست باشد بایستی فشار نقاط روی سطح آب همگی صفر باشند در غیر این صورت بایستی ارتفاع این نقاط تغییر یابد. این تغییر بدین صورت است که ارتفاع جدید نقاط برابر با هد آن نقاط در نظر گرفته میشوند. پس از چند بار تکرار، مسأله به یک سطح آزاد آب همگرا خواهد شد.
این روش بسیار شبیه به روش پیش میباشد با این تفاوت که ابتدا هد مرزی که مقدار کمتری دارد با مرزی که هد بیشتری دارد جایگزین میشود. با این کار دامنهی به دست آمده از دامنهی واقعی بزرگتر خواهد بود و مرزهایی تشکیل می‌شوند که مطمئناً در مسألهی واقعی وجود نخواهند داشت. سپس با فرض اینکه مرزهای جدید از نوع غیر قابل نفوذ هستند مسأله حل میشود. پس از به دست آوردن میزان فشار در تمامی گرهها کلیهی گرههایی که فشار منفی دارند از دامنه حذف شده و مسأله بار دیگر حل میشود. این کار تا آنجا ادامه مییابد که فشار هیچ گرهی منفی به دست نیاید.
3-2-7 اصلاح روش شبکه‌ای
بهبود معادلات به دست آمده به دو طریق امکان پذیر میباشد. اصلاح اول را میتوان با تغییر نحوهی اتصال یک گره به گرههای مجاورش انجام داد. اصلاح دوم را میتوان به نحوهی مدل کردن گرههای مرزی مربوط نمود. در این قسمت این دو اصلاحیه به صورت مشروح بیان میگردند.
3-2-7-1 بهبود با استفاده از افزایش اتصال گره‌ها
در تحقیقی که توسط(Raoof and Hassanizadeh, 2009) انجام گرفت به این نکته اشاره نمودند که تا آن زمان در بیشتر تحقیقات انجام شده گرههای همسایه بر روی خطوط افقی و عمودی قرار داشتند. این بدین معناست که در شبکهی دو بعدی یک گره در بیشترین حالت به چهار گره و در حالت سه بعدی به شش گره متصل بوده است. با توجه به این نوع اتصال به علت عدم وجود اتصالات قطری، جریان در راستای مورب به هیچ وجه امکان پذیر نیست حال آنکه در این راستا میتوان گرادیان هد داشت. با توجه به این نکته در این تحقیق گرههای همسایه در راستای قطری هم در نظر گرفته شدهاند. نحوهی شبیه سازی محیط متخلخل با استفاده از روش شبکهای مربعی قطری Square Diagonal PNM (SDPNM) به صورت شکل 3-10 خواهد بود.
شکل 3- 10. اضافه نمودن اعضای قطری به شبکه‌ی مربعی SDPNM
برای به دست آوردن معادلهی جبری حاکم بر این روش معادلهی پیوستگی برای گرهی مجزا مانند (i) (شکل 3-11) نوشته میشود:
3-32
شکل 3- 11. گره داخلی دلخواه از SDPNM
با فرض اینکه محیط متخلخل مورد نظر همگن و همسان باشد و با مد نظر قرار دادن اینکه طول لولههای قطری برابر طول لولههای افقی یا عمودی میباشند، معادلهی 3-32 به صورت 3-33 نوشته خواهد شد:
3-33
نمایش محاسباتی معادلهی بالا در شکل (3-12) نشان داده شده است.
شکل 3- 12. نمایش محاسباتی گرهی داخلی از SDPNM
با توجه به اینکه اتصالات گرهها نسبت به قبل افزایش پیدا کردند، معادلات جبری به دست آمده برای گرههای مرزی نیز تغییر خواهند کرد. لازم به ذکر است که برای مدل سازی عبور شار که در شرط نوع دوم و سوم استفاده میگردد همانند قبل نقاطی بیرون از مرز در نظر گرفته میشوند. روش به دست آوردن این معادلات با توجه به شکل 3-13 به صورت زیر می‌باشد.
شکل 3- 13. نمایش سه نوع شرط مرزی مختلف روی دامنه‌ای دلخواه از SDPNM
شرایط دریشله: در این نوع از مرزها به علت معلوم بودن مقدار تابع روی مرز احتیاجی به نوشتن معادلهی جبری روی مرزها نیست. معادلهی گرهی مانند (i) (شکل 3-13) که در مجاورت این مرز قرار دارد به صورت زیر خواهد بود:
3-34
شرایط نیومن: معادلهی حاکم بر این مرز برای گرهی مانند (j) که در شکل 3-13 نشان داده شده است برابر است با:
3-35
با مساوی گرفتن هر سه کسر بالا و نوشتن رابطهی 3-33 معادلهی حاکم بر این مرز به صورت زیر نوشته میشود:
3-36
شرایط رابین: معادلهی حاکم بر این مرز برای گرهی مانند (k) که در شکل 3-13 نشان داده شده است برابر است با:
3-37
با مساوی گرفتن هر سه کسر بالا و نوشتن رابطهی 3-33 معادلهی حاکم بر این مرز به صورت زیر نوشته میشود:
3-38
3-2-7-2 بهبود با استفاده از نحوه‌ی مدل کردن گره‌های مرزی
همانطور که در معادلات 3-16، 3-20 و 3-24 ذکر گردید معادلات جبری به دست آمده همگی مانند معادلات جبری حاصل از روش پیشرو تفاضل محدود بودند. با توجه به اینکه روش تفاضل محدود مرکزی نسبت به روش پیشرو از دقت بالاتری برخوردار است میتوان انتظار داشت که با تغییراتی در نحوهی فرمول بندی گرههای مرزی بتوان به دقت بالاتری دست پیدا کرد. با توجه به شکل3-7 ملاحظه می‌شود که نفوذ ناپذیری لایهی نشان داده شده به این صورت لحاظ گردیده است که آبی که در لولهی (j4) جریان دارد پس از برخورد به لولهی افقی 1-3 امکان حرکت در راستای عمودی را نداشته و بنابرین شرط نفوذ ناپذیری ارضا میگردد. برای ارضای این شرط میتوان از لولهای مجازی که در راستای محور عمودیست و دقیقا همان خصوصیات لوله ی (j4) را دارد سود جست. برای برقراری شرط نفوذ ناپذیری فرض میشود که همان جریانی که در لولهی (j4) برقرار است در لولهی (j2) در جهت مخالف نیز جریان دارد و بدین ترتیب این دو جریان یکدیگر را خنثی مینمایند. این فرض نسبت به فرض قبل دارای این مزیت است که مومنتوم آبی که در لولهی (i4) در جریان است به صورت ملایمتری نسبت به قبل خنثی میشود. این فرض را میتوان به صورت زیر نوشت:
3-39
به عبارت دیگر میزان هد گره 1 و 4 با هم برابر هستند و در مجموع بین این دو گره جریانی رد نمیشود. با جایگذاری h4 به جای h2 معادلهی 3-13 تبدیل می‌شود به:
3-40
نتیجهای که از مطالب گفته شده به دست میآید این است که برای فرمول بندی گره‌های مرزی هنگامی که نیاز به جایگذاری شار در جهت مشخصی میباشد، شار کلی آن گره نوشته شود یا به عبارتی شار عبوری از طریق تفاضل هدهای دو گره احاطه کنندهی گره مورد نظر به دست آید. بنابراین فرمول شرایط نیومن و رابین با توجه به شکل 3-5 به صورت زیر نوشته خواهند شد.
شرایط نیومن:
3-41
و معادلهی 3-13 به صورت معادلهی 3-42 تبدیل خواهد شد:
3-42
شرایط رابین:
3-43
با نوشتن معادلهی 3-13 و جایگذاری معادلهی 3-43 در آن معادلهی زیر حاصل میشود:
3-44
3-45
معادلات به دست آمده (3-42 و3-45) همگی برابر با معادلهی به دست آمده از طریق روش تفاضل محدود مرکزی میباشند و بنابراین از دقت بیشتری نسبت به معادلات 3-20 و 3-24 برخوردار هستند.
با استفاده از مطالب بالا میتوان با به کار بستن روش ذکر شده شرایط مرزی SDPNM را نیزاصلاح کرد. فرمول بندی شرایط نیومن و رابین با توجه به شکل 3-13 به صورت زیر نوشته خواهند شد:
شرایط نیومن:
3-46
با فرض اینکه صورت هر کدام از کسرهای بالا با هم برابر باشد معادلهی پیوستگی (3-33) به صورت معادلهی 3-47 نوشته خواهد شد:
3-47
که پس از ساده سازی به صورت زیر تبدیل خواهد شد:
3-48
شرایط رابین:
3-49
با فرض اینکه صورت هر کدام از کسرهای بالا با هم برابر باشد معادلهی پیوستگی (3-33) به صورت زیر نوشته خواهد شد:
3-50
که پس از ساده سازی به صورت زیر تبدیل خواهد شد:
3-51
3-2-8 معادله‌ی حاکم در حالت کلی
یکی از

مطلب مرتبط با این موضوع :  پایان نامه رایگان با موضوعافراد مبتلا، خانواده ها، عوامل خطر

دیدگاهتان را بنویسید