اغتشاش، جرثقیل، SDRE، ارابه، رابطه¬ی، کانتینر، کنترل¬کننده، کنترل¬کننده¬ی، می¬باشد.، کنترل¬کننده¬های، خطی¬سازی، کنترلی،

. حتی اگر را بسیار کوچک و نزدیک به صفر در نظر بگیریم، باز هم استفاده از موجب مشکل خواهد شد. پس مقدار نباید آن قدر کوچک باشد که عملاً بی نهایت بشود.

محدودیت حالت¬ها

در بسیاری از مسایل عملی محدودیت¬هایی در مقدار حالات دیده میشود. در این جا طراحی کنترل¬کننده¬های SDRE را با احتساب داشتن قید در متغیرهای حالت مورد بررسی قرار می¬دهیم [35]. فرض کنید که محدوده¬ی متغیرهای حالت در یک مدل افاین به صورت مجموعه¬ی زیر باشد:

‏3 58

هیچ یک از متغیرهای حالت پس از بستن ورودی پس¬خورد نباید از مرز تعریف شده¬ی زیر عبور کنند:
‏3 59

شرط کافی برای باقی ماندن حالات در محدوده¬ی ، به صورت زیر می¬باشد:

‏3 60

با اعمال خطی¬سازی توسعه¬یافته در رابطه¬ی (‏3 60) داریم:

‏3 61

که در آن z یک خروجی غیر واقعی می¬باشد. سپس ورودی پس¬خورد برابر میشود با:

‏3 62

که در آن، ، که معکوسD(x) می¬باشد. مسئله کنترل بهینه برای حالات محدود باید تابعی زیر را بهینه کند:

‏3 63

که در آن ، و برابر مقادیر زیر می¬باشند:

‏3 64

ماتریس قطری وزنی می¬باشد که در ایه¬ی i ام آن در صورت نزدیکی آن به iامین قید بزرگ شده و در غیر این صورت کوچک خواهد شد..
به طور کلی کمینه¬کردن رابطه¬ی (‏3 63) به تکین شدن ، و در نتیجه معکوس ناپذیرشدن آن، منجر میشود. از آن جا که ورودی کنترلی پس¬خورد حالت برای کمینه کردن رابطه¬ی (‏3 63) به معکوس نیاز دارد؛ این مساله مشکل¬ساز خواهد شد. رابطه¬ی مربوط به ورودی پس¬خورد حالت برای کمینه¬کردن رابطه¬ی (‏3 63) برابر است با:

‏3 65

به منظور رفع این مشکل، یک تابعی دیگر را به تابعی رابطه¬ی‏3 63 اضافه می¬کنیم:

‏3 66

که در آن، می¬باشد. تابعی جدید به صورت زیر خواهد بود:

‏3 67

که در آن، Q(x)، R(x) و S(x) به ترتیب برابر مقادیر زیر می¬باشند:

‏3 68

در این صورت ورودی پس¬خورد حالت برابر خواهد بود با:

‏3 69

که در آن، و برابر مقادیر زیر می¬باشند:

‏3 70

در آخر مقدار مثبت معین از معادله¬ی SDRE زیر بدست می¬آید:

‏3 71

که در ان، ، و برابر مقادیر زیر می¬باشند:

‏3 72

مقدار بهره¬ی پس¬خورد حالت K0(x) به منظور پایدارسازی و افزایش کارآیی طراحی شده است و نیز به منظور حفظ متغیرهای حالت در محدوده¬ی طراحی شده است. حال انتخاب مقدار وزن¬دهی برای حفظ متغیرهای حالت در محدوده¬ی مورد نظر تنها مساله باقی مانده است.
راه اول بر مبنای فاصله¬ی x از مرز محدودیت می¬باشد. با در نظر گرفتن ماتریس وزنی قطری برای هر x ثابت، هر یک از درایه¬های قطر اصلی به صورت زیر بدست می¬آیند:

‏3 73

با میل کردن متغیر حالت به مرز محدودیت ( ) فاصله¬ی آن با مرز یعنی hi(x) به صفر میل می¬کند. ( ) در نتیجه، خواهد شد. این به معنای زیاد شدن مقدار وزنی با نزدیک شدن به مرز می¬باشد. با انتخاب مناسب مقادیر و می¬توان این بزرگ شدن وزن را تنظیم کرد.
روش دوم بر مبنای جریمه¬ی متغیرهای حالت می¬باشد [37]. اگر مجموعه¬ی متغیرهای حالتی را که باید جریمه بشوند با در نظر بگیریم؛ با تعریف z=Cx به طوریکه برقرار باشد. (توجه شود که به ازای هر و در غیر این صورت برابر با صفر خواهد شد.) برای محدودیت¬های ، قطر اصلی ماتریس وزنی به ازای هر برابر زیر خواهد بود:

‏3 74

با نزدیک شدن متغیرهای حالت به مرز ، و در نتیجه که این به معنای می-باشد. این یعنی با نزدیک شدن هر متغیر حالت به مرز ، مقدار درایه¬ی قطر اصلی ماتریس وزنی آن به بی¬نهایت میل می-کند. همین¬طور که ملاحظه می¬شود؛ در صورت صفر شدن آن متغیر حالت نیز، درایه¬ی قطر اصلی آن صفر می¬شود. مجدداً طراحی مناسب کنترل کننده¬ی SDRE با قید در حالات به انتخاب درست مقادیر و بستگی دارد.

جمع¬بندی

در این فصل به معرفی ساختار کنترل¬کننده¬های SDRE به عنوان گسترش یافته¬ی کنترل¬کننده¬های LQR پرداختیم. سپس خاصیت مهم این کنترل¬کننده¬ها در افزایش درجه¬ی آزادی طراحی کنترل¬کننده را تشریح نمودیم. این خاصیت ناشی از عدم یکتایی ماتریس سیستم ناشی از اعمال خطی¬سازی توسعه یافته می¬باشد. بعد از این کارها نحوه طراحی¬کنترل¬کننده با اعمال اغتشاش به سیستم را انجام دادیم که به معادلات ریکاتی رسیدم. پس از ارایه¬ی دو توع الگوریتم تکرار برای حل معادلات SDRE در حالت زمان محدود و نامحدود، یک ترکیبی از کنترل¬کننده و رویت¬گر SDRE را برای یک مثال ساده با استفاده از الگوریتم موجود در [26] و اعمال اغتشاش، طراحی و شبیه¬سازی نمودیم. در آخر، به بر شمردن شرایط لازم برای امکان طراحی این کنترل¬کننده¬ها پرداخته؛ و برای چند حالت، که این شرایط در آنها برقرار نمی¬باشند؛ رهیافتی ارایه دادیم.

فصل چهارم: کنترل تاب خوردن جرثقیل حامل کانتینر در حضور اغتشاش باد

مقدمه
در این فصل ابتدا جرثقیل حامل کانتینر را حول نقطه کار مد نظر خطی¬سازی می¬نماییم، سپس یک کنترل¬کننده¬ی خطی LQR برای آن طراحی می¬کنیم. در ادامه پس از طراحی یک کنترل¬کننده¬ی غیرخطی SDRE بر اساس مطالب گفته شده در فصل سوم عملکرد کنترل¬کننده¬های طراحی شده را بر سیستم در حضور اغتشاش باد بررسی می¬نماییم.

خطی کردن مدل و طراحی کنترل¬کننده¬ی خطی برای جرثقیل حامل کانتینر

به منظور مقایسه¬ی کنترل¬کننده غیرخطی SDRE با کنترل¬کننده¬های خطی؛ لزوم طراحی یک کنترل¬کننده¬ی خطی برای جرثقیل-های حامل کانتینر دیده می¬شود. بدین منظور ابتدا مدل غیرخطی را باید به خطی تبدیل نمود. این کار را با خطی کردن روابط موجود در رابطه¬ی (‏2 7)، حول نقطه¬ی صفر، انجام می¬دهیم:

‏4 1

با اعمال تغییر متغیر (‏2 8) ، و هم¬چنین حذف جمله های شامل و خواهیم داشت:

‏4 2

حال با ضرب معکوس ماتریس سمت چپ رابطه (‏4 2) در کل عبارت و اعمال اغتشاش به سیستم، معادله سیستم را به صورت رابطه¬¬ی (‏2 23) بازنویسی می¬کنیم:

‏4 3

همان¬طور که مشاهده می¬شود برای این¬که بتوان یک کنترل¬کننده خطی LQR برای سیستم طراحی کنیم، با توجه به رابطه (‏4 3)، جملات شامل شتاب ارابه ، را به صورت اغتشاش در نظر می¬گیریم. بنابراین ماتریس¬های A، B و d به قرار زیر خواهد شد:

‏4 4

حال برای دو حالت شتاب ارابه برابر صفر و مخالف آن برای مقادیر مختلف پارامترهای اغتشاش باد، یک کنترل¬کننده¬ی LQR برای جرثقیل حامل کانتینر طراحی می¬کنیم. دقت شود که با فرض در دسترس بودن تمامی حالات سیستم شبیه¬سازی می¬کنیم و قبل ازشبیه¬سازی امکان کنترل کردن ماتریس کنترل¬پذیری نیز با مقداردهی پارامترها در ماتریسهای سیستم و ورودی به راحتی قابل بررسی است و مشاهده می¬شود که این ماتریس رتبه¬ی کامل بوده و در نتیجه سیستم خطی جرثقیل حامل کانتینر کنترل¬پذیر می¬باشد.
با استفاده از رابطه¬ی (‏4 4)، به راحتی می¬توان یک کنترل¬کننده¬ی بهینه¬ی خطی برای جرثقیل با توجه به مطالب گفته شده در فصل سوم و در حالتی که ماتریس¬های A، B و d مستقل از حالات سیستم هستند، طراحی نمود. در قسمت بعدی پس از طراحی کترل¬کننده¬ی SDRE برای جرثقیل حامل کانتینر؛ به مقایسه نتایج آن با کنترل¬کننده¬ی خطی آورده شده در این قسمت خواهیم پرداخت.

طراحی کنترل¬کننده¬ی SDRE برای جرثقیل حامل کانتینر

همان¬طور که در فصل سوم گفته شد، کنترل¬کننده¬های غیرخطی بهینه¬ی SDRE علاوه بر این¬که همانند LQR عمل کرده و پاسخی زیر بهینه به ما می¬دهند؛ قادر به حفظ خواص غیر خطی سیستم نیز می¬باشد. اذا منترل¬کننده¬ی SDRE علاوه بر سادگی طراحی هر دو خاصیت غیرخطی بودن و بهینگی را دارد که این مسئه این کنترل¬کننده را در کنترل مدلهای فیزیکی محبوب نموده است. در این قسمت به کنترل مدل غیرخطی از جرثقیل حامل کانتینر که در فصل دوم اریه گردیده، می¬پردازیم. برای این کار ابتدا باید مدل افاین جرثقیل را خطی¬سازی توسعه یافته نمود. همانطور که پیش¬تر گفته شده، برای ممکن بودن اعمال خطی سازی توسعه یافته بر f(x) ، باید f(0)=0 باشد. با توجه به تغییر متغیر (‏2 8)، از این پس ماتریس¬های f(x) ، B(x) و E(x) را وابسته به z در نظر می¬گیریم. با توجه به رابطه¬ی (‏2 13)، این حالت تنها زمانی اتفاق می¬افتد که شتاب ارابه برابر با صفر باشد. بنابراین در حالتی که ارابه دارای شتاب باشد استفاده از این اگوریتم دچار مشکل می¬شود. برای رفع این مشکل همانطور که در فصل اول گفته شده، می¬توان شتاب ارابه را به صورت اغتشاش در نظر گرفت [8]. البته در [8] این راه کار به منظور طراحی کنترل¬کننده-ی SDRE در نظر گرفته نشده است و صرفاً برای رفع مشکل حرکت شتابدار ارابه در کنترل جرثقیل ارایه شده است. دلیل آن هم در این است که افزایش شتاب ارابه¬ی جرثقیل همواره یکی از چالش¬ها در بحث کنترل آن بوده است. بنابر آن¬چه گفته شد؛ شتاب ارابه را از f(z) بیرون می¬آوریم و ضرایب مربوط به آن را به صورت اغتشاش در ماتریس اغتشاش (d) به همراه اغتشاش باد بازنویسی می¬کنیم. با این حساب ماتریس B تغییری نخواهد کرد ولی ماتریس¬های f و d به صورت زیر خواهد شد.

‏4 5

‏4 6

با اعمال خطی¬سازی توسعه یافته در رابطه¬ی (‏4 5)، ماتریس وابسته به حالت (z) جرثقیل حامل کانتینر به صورت زیر می¬شود:

‏4 7

توجه کنید که در خطی¬سازی توسعه یافته¬ی صورت گرفته برای بدست آوردن رابطه¬ی (‏4 7)، از رابطه¬ی (‏3 4) استفاده شده است. به دلیل پیچیدگی ماتریس f(z) به دنبال خاصیت بارز طراحی SDRE ، یعنی افزایش درجات آزادی نرفته¬ایم و تنها به پاسخ زیر بهینه اکتفا می¬کنیم.
با اعمال کنترل¬کننده مقادیر برابر صفر می گردد. که با تاملی بر مقادیر خواهیم داشت:

‏4 8

با توجه به رابطه¬های بالا مقادیر حالات دوم و چهارم برابر اغتشاشات اعمالی به حالات اول و سوم می¬باشد که با علم به عملکرد کنترل¬کننده، مقدار نهایی حالات دوم و چهارم برابر میانگین اغتشاشات می¬شود که با توجه به نوع اغتشاش در این مسئله این مقادیر برابر قرینه باد پایه می باشد.
نکته قابل توجه دیگر اینست که در حالت¬های دوم و چهارم مسئله ( ) که بیانگر سرعت کانتینر به صورت خطی و سرعت زاویه¬ای طناب کشنده کانتینر می¬باشد، نتیجه مطلوب زمانی حاصل می¬گردد که برآیند حاصل از اعمال کنترل¬کننده بر این حالت¬ها و مقادیر بادپایه برای ناظری که در بیرون از سیستم قرار دارد برابر صفر گردد. بنابراین در نمایش کلیه نمودارها این مورد لحاظ گردیده است. در واقع مقدارهای ( ) در نمودارها از رابطه زیر بدست آمده است.

‏4 9

که در روابط بالا و به ترتیب برابر مقدار سرعت خطی و سرعت زاویه ای جرثقیل حامل کانتینر با اعمال کنترل¬کننده می باشد.
حال شبیه¬سازی برای جرثقیل را با پارامترهای رابطه¬ی‏2 25 و شرایط اولیه¬ رابطه¬ی (‏2 27) در دو حالت شتابدار (شتابی برابر (m/s2) 2 در ثانیه اول) و بدون شتاب در پنج زون مختلف اغتشاش باد طبق جدول (‏4 1) بررسی می¬نماییم. برای هر دو کنترل¬کننده LQR و SDRE در هر دو حالت شتابدار و بدون شتاب با روش تکرار [26] و به صورت خارج از خط و افق محدود (با P(T)=100I)) با فرض در دسترس بودن تمامی حالات سیستم، و با ماتریس¬های وزنی R=5 برای حالت بدون شتاب و R=0.5 برای حالت شتابدار و Q=100I و برای هر دوحالت با دو بار تکرار انجام می¬دهیم. ماتریس کنترل¬پذیری وابسته به حالت را نیز نقطه به نقطه بررسی می¬کنیم. از آن جا که این ماتریس نقطه به نقطه رتبه¬ی کامل می¬باشد؛ دیگر نیازی به استفاده از رابطه¬ی کلی (‏3 10) نخواهد بود. علت استفاده از ماتریس وزنی R=0.5 در حالت شتابدار نیاز به تلاش کنترلی بیشتر برای طراحی کنترل¬کننده¬های بهینه می¬باشد.

مقادیر پارامترهای اغتشاش باد بر اساس [18] تعیین گردیده است؛ واین پنج زون به قرار زیر می¬باشد:

جدول ‏4 2
زون 1 : KB = 0 MAXG = 1 MAXR = 1
زون 2 : KB = 0.5 MAXG = 0.5 MAXR = 0.5
زون 3 : KB = 1 MAXG = 1 MAXR = 1
زون 4 : KB = 2 MAXG = 2 MAXR = 2
زون 5 : KB = -0.5 MAXG = -0.5 MAXR = -0.5

در کلیه¬ی زون¬های معرفی شده، بر اساس [18] سایر مقادیر اغتشاش باد برابر مقادیر زیر می¬باشد:

‏4 10

همچنین برای اعمال پارامتر نویزی اغتشاش باد از سابروتین randn در محیط سیمبولیک متلب بهره می¬بریم که تقریب بسیار نزدیکی به این پارامتر اغتشاش باد می¬باشد.
با توجه به مطالب ارایه گردیده نتایج برای 4 حالت مسئله و ورودی کنترلی در حالتهای شتاب دار و بدون شتاب صورت در زونهای مختلف به صورت شکلهای زیر می¬باشد.

شکل‏4 1: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون 1

شکل ‏4 2: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتاب¬دار در اغتشاش زون 1

شکل ‏4 3: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون2

شکل ‏4 4: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتاب¬دار در اغتشاش زون2

شکل ‏4 5: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون3

شکل ‏4 6: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتاب¬دار در اغتشاش زون 3